LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Cập nhật lúc: 13:29 04-11-2018 Mục tin: LỚP 8


Bài viết bao gồm cả lý thuyết và bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng việc phối hợp các phương pháp. Phần lý thuyết có đầy đủ các công thức và tính chất các em đã được học để áp dụng làm các bài tập. Các bài tập đều có hướng dẫn giải giúp các em có hướng làm bài và vận dụng tốt để làm những bài sau.

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

A. Kiến thức cơ bản

1. Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

B. Bài tập

Bài 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x;              b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2;

c) 2xy – x2 – y2 + 16.

Đáp án và hướng dẫn giải bài

a) x3 – 2x2 + x = x(x2 – 2x + 1) = x(x – 1)2

b) 2x+ 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1) – 2y2

= 2[(x + 1)2 – y2]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16 = 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 =42 – (x – y)2

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Bài 2.

Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Đáp án và hướng dẫn giải bài

Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 chia hết 5 nên 5n(5n + 4) chia hết 5 ∀n ∈ Z.

Bài 3.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2;

(Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử -3x = – x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

b) x2 + x – 6;

c) x2 + 5x + 6.

Đáp án và hướng dẫn giải bài

a) x2 – 3x + 2 = a) x2 – x – 2x + 2 = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2)

Hoặc x2 – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x – 2)(x + 2) – 3(x -2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6

= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(x – 2).

c) x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

Bài 4

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x;

b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2;

c) x4 – 2x2.

Đáp án và hướng dẫn giải bài

a) x3 + 2x2y + xy2– 9x = x(x2 +2xy + y2 – 9)

= x[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x[(x + y)2 – 32]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2)

= 2(x – y) – (x – y)2

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x4 – 2x2 = x2(x2 – (√2)2) = x2(x – √2)(x + √2).

Bài 5

Tìm x, biết:

a) x(x2 -1/4) =0;

b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0;

c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) Ta có: x(x - 1/2)(x + 1/2) = 0

Hoặc x = 0

Hoặc x -1/2= 0 ⇒ x = 1/2

Hoặc x + 1/2= 0 ⇒ x = – 1/2

Vậy x = 0; x = – 1/2; x = 1/2.

b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0

[(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

(2x – 1 – x – 3)(2x – 1 + x + 3) = 0

(x – 4)(3x + 2) = 0

Hoặc x – 4 = 0 ⇒ x = 4

Hoặc 3x + 2 = 0 ⇒ 3x = 2 => x = -2/3

Vậy x = 4; x = -2/3.

c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0

x2(x – 3) – 4(x -3)= 0

(x – 3)(x2– 22) = 0

(x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

Hoặc x – 3 = 0 => x = 3

Hoặc x – 2 =0 => x = 2

Hoặc x + 2 = 0 => x = -2

Vậy x = 3; x = 2; x = -2.

Bài 6

Tính nhanh giá trị của đa thức:

a) x2 + 1/2x + 1/16 tại x = 49,75;

b) x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.

Đáp án và hướng dẫn giải bài

a) x2 + 1/2x+ 1/16 tại x = 49,75

Ta có: x2 + 1/2x + 1/16 = x2 + 2.1/4x + (1/4)2

= (x +1/4)2

Với x = 49,75: (49,75 +1/4)2

= (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500

b) x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Ta có: x2 – y2 – 2y – 1 = x2 – (y2 + 2y + 1)

= x2 – (y + 1)2 = (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6: (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600

Bài 7

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 4x + 3;            b) x2 + 5x + 4

c) x2 – x – 6;              d) x4 + 4

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho.

Đáp án và hướng dẫn giải

a) x2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3

= x(x – 1) – 3(x – 1) = (x -1)(x – 3)

b) x2 + 5x + 4 = x2 + 4x + x + 4

= x(x + 4) + (x + 4)

= (x + 4)(x + 1)

c) x2 – x – 6 = x2 +2x – 3x – 6

= x(x + 2) – 3(x + 2)

= (x + 2)(x – 3)

d) x4+ 4 = x4 + 4x+ 4 – 4x2

= (x2 + 2)2 – (2x)2

= (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)

Bài 8

Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Bài giải:

Ta có: n3– n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)

Với n ∈ Z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n3 – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021