Luyện tập về phân thức đại số - Có đáp án

LUYỆN TẬP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức B ≠ 0, A là tử thức, B là mẫu thức.

Đặc biệt: Mỗi đa thức cúng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

2. Hai phân thức bằng nhau

Với hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu: AD = BC

Ta viết: \(\frac{A}{B}\) = \(\frac{C}{D}\) nếu AD = BC

II. BÀI TẬP

Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

\(\begin{array}{l}a)\frac{{5y}}{7} = \frac{{20xy}}{{28x}}\\b)\frac{{3x(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{3x}}{2}\\c)\frac{{x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{(x + 2)(x - 1)}}{{{x^2} - 1}}\\d)\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\\e)\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 4}} = x + 2\end{array}\)

Giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5y.28x = 140xy\\7.20xy = 140xy\end{array} \right. \Rightarrow 5y.28x = 7.20xy \Rightarrow \frac{{5y}}{7} = \frac{{20xy}}{{28x}}\)

b) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}2.3x.(x + 5) = 6{x^2} + 30x\\3x.2.(x + 5) = 6{x^2} + 30x\end{array} \right. \Rightarrow 2.3x.(x + 5) = 3x.2.(x + 5) \Rightarrow \frac{{3x(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{3x}}{2}\)

c) Ta có: 

\((x + 2).({x^2} - 1) = (x - 1).(x + 2)(x - 1) \Rightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{(x + 2)(x - 1)}}{{{x^2} - 1}}\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}({x^2} - 3x + 2).(x + 1) = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\\(x - 1).({x^2} - x - 2) = {x^3} - 2{x^2} - x + 2\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\)

e) Ta có:

\(({x^2} - 2x + 4).(x + 2) = {x^3} + 8 \Rightarrow \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 4}} = x + 2\)

Bài 2. Ba phân thức sau có bằng nhau không?

 \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} + x}};\frac{{x - 3}}{x};\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - x}}\)

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3)x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x\\({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x\\\Rightarrow ({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3)x{\rm{ }} = ({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\\\Rightarrow \frac{{{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3}}{{{x^2} + {\rm{ }}x}} = \frac{{x - 3}}{x}(1)\end{array}\)

Ngoài ra:

 \(\begin{array}{l}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\\x({x^2}{\rm{ }}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3){\rm{ }} = {x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\\\Rightarrow \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = x({x^2}{\rm{ }}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\\\Rightarrow \frac{{x - 3}}{x} = \frac{{{x^2}{\rm{ }}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3}}{{{x^2}-{\rm{ }}x}}(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có 3 phân số bằng nhau.

Bài 3. Cho ba đa thức : x² – 4x, x² + 4, x² + 4x. Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

Giải:

Ta có: (....)(x – 4) = x.(x² – 16)

= x(x + 4)(x – 4) = (x² + 4x)(x – 4)

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức: x² + 4x

Bài 4: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^2}{y^3}}}{5} = \frac{{7{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\\b.\frac{{{x^2}.(x + 2)}}{{x.{{(x + 2)}^2}}} = \frac{x}{{x + 2}}\\c.\frac{{3 - x}}{{3 + x}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\\d.\frac{{{x^3} - 4x}}{{10 - 5x}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{5}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4}\\5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\end{array} \right. \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\\\Rightarrow \frac{{{x^2}{y^3}}}{5} = \frac{{7{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\\b.\\{x^2}.(x + 2).(x + 2) = x.{(x + 2)^2}.x\\\Rightarrow \frac{{{x^2}.(x + 2)}}{{x.{{(x + 2)}^2}}} = \frac{x}{{x + 2}}\\c.\\\left\{ \begin{array}{l}(3 - x).(9 - {x^2}) = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\\(3 + x).({x^2} - 6x + 9) = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\end{array} \right.\\\Rightarrow (3 - x).(9 - {x^2}) = (3 + x).({x^2} - 6x + 9)\\\Rightarrow \frac{{3 - x}}{{3 + x}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\\d.\\\left\{ \begin{array}{l}({x^3} - 4x).5 = 5{x^3} - 20x\\(10 - 5x).( - {x^2} - 2x) = 5{x^3} - 20x\end{array} \right.\\\Rightarrow ({x^3} - 4x).5 = (10 - 5x).( - {x^2} - 2x)\\\Rightarrow \frac{{{x^3} - 4x}}{{10 - 5x}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{5}\end{array}\)

Bài 5. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{A}{{2x - 1}} = \frac{{6{x^2} + 3x}}{{4{x^2} - 1}}\\b.\frac{{4{x^2} - 3x - 7}}{A} = \frac{{4x - 7}}{{2x + 3}}\\c.\frac{{4{x^2} - 7x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{A}{{{x^2} + 2x + 1}}\\d.\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} - 3x - 2}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{A}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{A}{{2x - 1}} = \frac{{6{x^2} + 3x}}{{4{x^2} - 1}}\\\Rightarrow A.(4{x^2} - 1) = (2x - 1).(6{x^2} + 3x)\\\Rightarrow A.(2x - 1).(2x + 1) = (2x - 1).(2x + 1).3x\\\Rightarrow A = 3x\\b.\frac{{4{x^2} - 3x - 7}}{A} = \frac{{4x - 7}}{{2x + 3}}\\\Rightarrow (4{x^2} - 3x - 7).(2x + 3) = A.(4x - 7)\\\Rightarrow (x + 1).(4x - 7).(2x + 3) = A.(4x - 7)\\\Rightarrow A = (x + 1).(2x + 3) = 2{x^2} + 5x + 3\\c.\frac{{4{x^2} - 7x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{A}{{{x^2} + 2x + 1}}\\\Rightarrow (4{x^2} - 7x + 3).({x^2} + 2x + 1) = A.({x^2} - 1)\\\Rightarrow \left[ {4x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}3\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)} \right].{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}A.\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\left( {4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}^{2}} = {\rm{ }}A\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)}\\{ \Rightarrow {\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3}\end{array}\\d.\frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^2} - 3x - 2}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{A}\\\Rightarrow {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right).A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {2{x^{2}}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right).x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right).A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)} \right].x\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)}\\{ \Rightarrow {\rm{ }}x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right).A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right).x.\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)}\\{ \Rightarrow {\rm{ }}A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = 2{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2}\end{array}
\end{array}\)

 Bài 6. Bạn Lan viết các đẳng thức sau đây và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy tìm và sửa chỗ sai cho đúng.

 \(\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{5{x^2} + 13x + 6}}{{{x^2} - 4}}\\b.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 6x + 9}}\\c.\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\\d.\frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{{x^2} + 3x - 4}} = \frac{{2{x^2} - x - 3}}{{{x^2} + 5x + 4}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{5{x^2} + 13x + 6}}{{{x^2} - 4}}\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^3}-{\rm{ }}20x{\rm{ }} + {\rm{ }}3x2{\rm{ }}-{\rm{ }}12}\\{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)\left( {5{x^2} + {\rm{ }}13x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^3} + {\rm{ }}12{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}10{x^2}-{\rm{ }}26x{\rm{ }}-{\rm{ }}12}\\{ = {\rm{ }}5{x^3}-{\rm{ }}20x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}12}\end{array}\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng

 \(\begin{array}{l}b.\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 6x + 9}}\\\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}6{x^{2}} + {\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^{3}} + {\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}15x{\rm{ }} + {\rm{ }}9}\\{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}9}\end{array}\\\Rightarrow \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9} \right) \ne \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left({{x^2} + {\rm{ }}3} \right)\end{array}\)

Vậy đẳng thức sai.

Sửa lại: 

\(\frac{{x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} + 6x + 9}}\)

\(\begin{array}{l}c.\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\\({x^2} - 2)(x + 1) = {x^3} + {x^2} - 2x - 2\\
({x^2} - 1)(x + 2) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2\\\Rightarrow ({x^2} - 2)(x + 1) \ne ({x^2} - 1)(x + 2)\end{array}\)

Vậy đẳng thức sai.

Sửa lại:

 \(\frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l}d.\frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{{x^2} + 3x - 4}} = \frac{{2{x^2} - x - 3}}{{{x^2} + 5x + 4}}\\
\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)}\\{ = {\rm{ }}2{x^4} + {\rm{ }}10{x^3} + {\rm{ }}8{x^2}-{\rm{ }}5{x^3}-{\rm{ }}25{x^2}-{\rm{ }}20x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}15x{\rm{ }} + {\rm{ }}12}\\{ = {\rm{ }}2{x^4} + {\rm{ }}5{x^3}-{\rm{ }}14{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}12}\\{\left( {{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)\left( {2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\\{ = {\rm{ }}2{x^4}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}6{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}12}\\{ = {\rm{ }}2{x^{4}} + {\rm{ }}5{x^{3}}-{\rm{ }}14{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}12}\end{array}\\\Rightarrow (2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3)({x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}4)(2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3)\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng.