Luyện tập tính chất cơ bản của phân thức đại số (Có đáp án)

  LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1.Tính chất

– Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác đa thức 0)

-Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một nhân tử chung)

2. Qui tắc đổi dấu:

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phên thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho \(\frac{A}{B} = \frac{{-A }}{{-B }}\)

II. BÀI TẬP

Bài 1. Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{2x - 5}} = \frac{{{x^2} + 3x}}{{2{x^2} - 5x}}(Lan)\\\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + x}} = \frac{{x + 1}}{1}(Hung)\\\frac{{4 - x}}{{ - 3x}} = \frac{{x - 4}}{{3x}}(Giang)\\\frac{{{{(x - 9)}^3}}}{{2.(9 - x)}} = \frac{{{{(9 - x)}^2}}}{2}(Huy)\end{array}\)

Em hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức và qui tắc đổi dấu để giải thích ai viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng.

Giải:

Lan viết đúng:

\(\frac{{x + 3}}{{2x - 5}} = \frac{{(x + 3)x}}{{(2x - 5)x}} = \frac{{{x^2} + 3x}}{{2{x^2} - 5x}}\)

Hùng viết sai:

\(\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + x}} = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{x(x + 1)}} = \frac{{x + 1}}{x}\)

Hùng viết sai vì đã chia tử của vế trái cho nhân tử chung x + 1 thì cũng phải chia mẫu của nó cho x + 1. 

=> Sửa lại:

\(\left[ \begin{array}{l}\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + x}} = \frac{{x + 1}}{x}\\\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{1}\end{array} \right.\)

Giang viết đúng: \(\frac{{4 - x}}{{ - 3x}} = \frac{{ - (4 - x)}}{{ - ( - 3x)}} = \frac{{x - 4}}{{3x}}\)

Huy viết sai: \(\frac{{{{(x - 9)}^3}}}{{2.(9 - x)}} = \frac{{ - {{(9 - x)}^3}}}{{2.(9 - x)}} = \frac{{ - {{(9 - x)}^2}}}{2}\)

=> Sửa lại:

\(\left[ \begin{array}{l}\frac{{{{(x - 9)}^3}}}{{2.(9 - x)}} = \frac{{ - {{(9 - x)}^2}}}{2}\\\frac{{{{(x - 9)}^3}}}{{2.(9 - x)}} = \frac{{{{(9 - x)}^2}}}{{ - 2}}\end{array} \right.\)

Bài 2. Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đa thức sau:

\(\begin{array}{l}a)\frac{{{x^3} + {x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{...}}{{x - 1}}\\b)\frac{{5(x + y)}}{2} = \frac{{5{x^2} - 5{y^2}}}{{...}}\end{array}\)

Giải:

a) \(\frac{{{x^3} + {x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{{x^2}(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)

Vậy phải điền x² vào chỗ trống.

b) \(\frac{{5(x + y)}}{2} = \frac{{5(x + y)(x - y)}}{{2(x - y)}} = \frac{{5({x^2} -{y^2})}}{{2(x - y)}} = \frac{{5{x^2} - 5{y^2}}}{{2(x - y)}}\)

Vậy phải điền 2(x-y) vào chỗ trống.

Bài 3. Đố. Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống: \(\frac{{{x^5} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{...}}{{x + 1}}\)

Giải:

Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho x – 1 (vì x² –  1 = (x – 1)(x  + 1))

Vậy phải chia tử của vế trái x⁵ – 1 cho x – 1

Vậy phải điền vào chỗ trống :  x⁴ + x³ + x² + x + 1 

Bài 4: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{x - {x^2}}}{{5{x^2} - 5}} = \frac{x}{{...}}\\b.\frac{{{x^2} + 8}}{{2x - 1}} = \frac{{3{x^2} + 24x}}{{...}}\\c.\frac{{...}}{{x - y}} = \frac{{3{x^2} - 3xy}}{{3{{(y - x)}^2}}}\\d.\frac{{ - {x^2} + 2xy - {y^2}}}{{x + y}} = \frac{{...}}{{{y^2} - {x^2}}}\end{array}\)

Giải:

a) Ta có: Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho 1 – x nên mẫu thức phải chia cho 1 – x. Mà 5x²– 5 = 5(x – 1)(x + 1) = - 5(1 – x)(x+ 1)

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là – 5(x + 1)

b) Ta có: Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với 3x nên mẫu thức cũng nhân với 3x.

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là 3x(2x – 1) = 6x² – 3x

c) Ta có: Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với 3(x – y) nên tử cũng được nhân với 3(x – y) mà 3x² – 3xy = 3(x – y)

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x.

d) Ta có: Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm y – x nên tử phải nhân với y – x

Vậy đa thức cần điền là (- x + 2xy – y²)(y – x)

Ta có: (- x + 2xy – y²)(y – x)

= - x²y + x³ + 2xy² – 2x²y – y³ + xy²

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = (x – y)³

Bài 5. Biến đồi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó có tử là đa thức A cho trước:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4x + 3}}{{{x^2} - 5}},A = 12{x^2} + 9x\\b.\frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{(4x - 2)(15 - x)}},A = 1 - 2x\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.A = 12{x^2} + 9x = 3x(4x + 3)\\ \Rightarrow \frac{{4x + 3}}{{{x^2} - 5}} = \frac{{(4x + 3).3x}}{{({x^2} - 5).3x}} = \frac{{12{x^2} + 9x}}{{3{x^3} - 15x}}\\b.A = 1 - 2x \Rightarrow 8{x^2} - 8x + 2:(1 - 2x) = 2 - 4x\\ \Rightarrow \frac{{8{x^2} - 8x + 2}}{{(4x - 2)(15 - x)}} = \frac{{(8{x^2} - 8x + 2):(2 - 4x)}}{{(4x - 2)(15 - x):(2 - 4x)}} = \frac{{1 - 2x}}{{x - 15}}\end{array}\)

Bài 6. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{x + 2}}\& \frac{{x - 1}}{{5x}}\\b.\frac{{x + 5}}{{4x}}\& \frac{{{x^2} - 25}}{{2x + 3}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{x + 2}} = \frac{{3(x - 1)}}{{(x + 2)(x - 1)}} = \frac{{3x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}\\\frac{{x - 1}}{{5x}} = \frac{{3(x - 1)}}{{5x.3}} = \frac{{3x - 3}}{{15x}}\\b.\frac{{x + 5}}{{4x}} = \frac{{(x + 5)(x - 5)}}{{4x.(x - 5)}} = \frac{{{x^2} - 25}}{{4{x^2} - 20x}}\\\frac{{{x^2} - 25}}{{2x + 3}}\end{array}\)

Bài 7: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3x}}{{x - 5}}\& \frac{{7x + 2}}{{5 - x}}\\b.\frac{{4x}}{{x + 1}}\& \frac{{3x}}{{x - 1}}\\c.\frac{2}{{{x^2} + 8x + 16}}\& \frac{{x - 4}}{{2x + 8}}\\d.\frac{{2x}}{{(x + 1)(x - 3)}}\& \frac{{x + 3}}{{(x + 1)(x - 2)}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3x}}{{x - 5}} = \frac{{ - (3x)}}{{ - (x - 5)}} = \frac{{ - 3x}}{{5 - x}}\\\frac{{7x + 2}}{{5 - x}}\\b.\frac{{4x}}{{x + 1}} = \frac{{4x(x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \frac{{4{x^2} - 4x}}{{{x^2} - 1}}\\\frac{{3x}}{{x - 1}} = \frac{{3x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{3{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 1}}\\c.\frac{2}{{{x^2} + 8x + 16}} = \frac{4}{{2{{(x + 4)}^2}}}\\\frac{{x - 4}}{{2x + 8}} = \frac{{(x - 4)(x + 4)}}{{2(x + 4)(x + 4)}} = \frac{{{x^2} - 16}}{{2{{(x + 4)}^2}}}\\d.\frac{{2x}}{{(x + 1)(x - 3)}} = \frac{{2x(x - 2)}}{{(x + 1)(x - 3)(x - 2)}} = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{(x + 1)(x - 3)(x - 2)}}\\\frac{{x + 3}}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{{(x + 3)(x - 3)}}{{(x + 1)(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{(x + 1)(x - 2)(x - 3)}}\end{array}\)