Luyện tập rút gọn phân thức (có đáp án)

  LUYỆN TẬP PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. LÝ THUYẾT

1. Qui tắc

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

2. Chú ý

Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

II. BÀI TẬP

Bài 1. Rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{6{x^2}{y^2}}}{{8x{y^5}}}\\b.\frac{{10x{y^2}(x + y)}}{{15xy{{(x + y)}^3}}}\\c.\frac{{2{x^2} + 2x}}{{x + 1}}\\d.\frac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{6{x^2}{y^2}}}{{8x{y^5}}} = \frac{{3x.2x{y^2}}}{{4{y^3}.2x{y^2}}} = \frac{{3x}}{{4{y^3}}}\\b.\frac{{10x{y^2}(x + y)}}{{15xy{{(x + y)}^3}}} = \frac{{2y.5xy.(x + y)}}{{3{{(x + y)}^2}.5xy(x + y)}} = \frac{{2y}}{{3{{(x + y)}^2}}}\\c.\frac{{2{x^2} + 2x}}{{x + 1}} = \frac{{2x(x + 1)}}{{x + 1}} = 2x\\d.\frac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}} = \frac{{x(x - y) - (x - y)}}{{x(x + y) - (x + y)}} = \frac{{(x - 1)(x - y)}}{{(x + y)(x - 1)}} = \frac{{x - y}}{{x + y}}\end{array}\)

Bài 2. Các nhận định sau đúng hay sai?

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3xy}}{{9y}} = \frac{x}{3}\\b.\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{x}{3}\\c.\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{{x + 1}}{6}\\d.\frac{{3xy + 3x}}{{9y + 9}} = \frac{x}{3}\end{array}\)

Giải:

a) Đúng vì đã chia cả tử cả mẫu cuả vế trái cho 3y.

b) Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho 3y + 1 vì 9y + 3 = 3(3y + 1)

Nhưng tử của vế trái không có nhân tử 3y + 1. Nên phép rút gọn này sai.

c) Sai, vì y không phải là nhân tử chung của tử thức và mẫu thức của vế trái

d) Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là 3(y + 1)

 Bài 3. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{32 - 16x}}\\b.\frac{{{x^2}-{\rm{ }}xy}}{{5{y^2}-{\rm{ }}5xy}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{32 - 16x}} = \frac{{36{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)}^3}}}{{16(2 - x)}} = \frac{{ - 36{{\left( {2{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)}^3}}}{{16(2 - x)}} = \frac{{ - 9{{(2 - x)}^2}}}{4}\\b.\frac{{{x^2}-{\rm{ }}xy}}{{5{y^2}-{\rm{ }}5xy}} = \frac{{x(x - y)}}{{5y(y - x)}} = \frac{{ - x(y - x)}}{{5y(y - x)}} = \frac{{ - x}}{{5y}}\end{array}\)

Bài 4: Đố em rút gọn:

\(\frac{{{x^7} + {\rm{ }}{x^6} + {\rm{ }}{x^5} + {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^{2}} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}{{{x^2}-{\rm{ }}1}}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^7} + {\rm{ }}{x^6} + {\rm{ }}{x^5} + {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^{2}} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}{{{x^2}-{\rm{ }}1}}\\ = \frac{{{x^6}(x + 1) + {x^4}(x + 1) + {x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}}\\ = \frac{{(x + 1)({x^6} + {x^4} + {x^2} + 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}}\\ = \frac{{{x^6} + {x^4} + {x^2} + 1}}{{x - 1}}\end{array}\)

Bài 5. Rút gọn các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}}\\b.\frac{{15x{{(x + 5)}^3}}}{{20{x^2}(x + 5)}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{12{x^3}{y^2}}}{{18x{y^5}}} = \frac{{2.(6x{y^2}).{x^2}}}{{3.(6x{y^2}).{y^3}}} = \frac{{2{x^2}}}{{3{y^3}}}\\b.\frac{{15x{{(x + 5)}^3}}}{{20{x^2}(x + 5)}} = \frac{{3.5x.(x + 5){{(x + 5)}^2}}}{{4.5x.x.(x + 5)}} = \frac{{3{{(x + 5)}^2}}}{{4x}}\end{array}\)

 Bài 6. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} - 12x + 12}}{{{x^4} - 8x}}\\b.\frac{{7{x^2} + 14x + 7}}{{3{x^2} + 3x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3{x^2} - 12x + 12}}{{{x^4} - 8x}} = \frac{{3.({x^2} - 4x + 4)}}{{x({x^3} - 8)}} = \frac{{3{{(x - 2)}^2}}}{{x(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{3(x - 2)}}{{x({x^2} + 2x + 4)}}\\b.\frac{{7{x^2} + 14x + 7}}{{3{x^2} + 3x}} = \frac{{7({x^2} + 2x + 1)}}{{3x(x + 1)}} = \frac{{7(x + 1)}}{{3x}}\end{array}\)

Bài 7. Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{45x(3 - x)}}{{15x{{(x - 3)}^3}}}\\b.\frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{45x(3 - x)}}{{15x{{(x - 3)}^3}}} = \frac{{ - 3.15x(x - 3)}}{{15x{{(x - 3)}^3}}} = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 3)}^2}}}\\b.\frac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \frac{{(y - x)(x + y)}}{{{{(x - y)}^3}}} = \frac{{ - (x + y)}}{{{{(x - y)}^2}}}\end{array}\)

 Bài 8. Rút gọn các phân thức

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\\b.\frac{{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{{12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\\c.\frac{{20{x^2} - 45}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\\d.\frac{{5{x^2} - 10xy}}{{2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\\e.\frac{{80{x^3} - 125x}}{{3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}\\f.\frac{{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 4x + 4}}\\g.\frac{{32x - 8{x^2} + 2{x^3}}}{{{x^3} + 64}}\\h.\frac{{5{x^3} + 5x}}{{{x^4} - 1}}\\i.\frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{{x^2} + 4x + 4}}\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}} = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}}\\b.\frac{{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{{12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{ - 8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{{12{x^2}\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{ - 2y{{(3x - 1)}^2}}}{{3x}}\\c.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{{20{x^2} - 45}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {4{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{5\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {2x - 3} \right)}}{{2x + 3}}}\end{array}\\d.\frac{{5{x^2} - 10xy}}{{2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}} = \frac{{ - 5x\left( {2y - x} \right)}}{{2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}} = \frac{{ - 5x}}{{2{{(2y - x)}^2}}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{e.}&{\frac{{80{x^3} - 125x}}{{3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {16{x^2} - 25} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {3 - 8 + 4x} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {4x - 5} \right)\left( {4x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 5} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x\left( {4x + 5} \right)}}{{x - 3}}}\end{array}\end{array}\)\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{f.}&{\frac{{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 4x + 4}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {3 + x + 5} \right)\left( {3 - x - 5} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {8 + x} \right)\left( { - 2 - x} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{ - \left( {8 + x} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {8 + x} \right)}}{{x + 2}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{g.}&{\frac{{32x - 8{x^2} + 2{x^3}}}{{{x^3} + 64}}}\\{}&{ = \frac{{2x\left( {16 - 4x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{2x}}{{x + 4}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{h.}&{\frac{{5{x^3} + 5x}}{{{x^4} - 1}} = \frac{{5x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{5x}}{{{x^2} - 1}}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{i.}&{\frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{{x^2} + 4x + 4}}}\\{}&{ = \frac{{{x^2} + 2x + 3x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}\\{}&{ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}}\end{array}\end{array}\)

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}}}{{2{x^2} + xy - {y^2}}} = \frac{{xy + {y^2}}}{{2x - y}}\\b.\frac{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = \frac{1}{{x - y}}\end{array}\)

Giải:

a. Biến đổi vế trái:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}}}{{2{x^2} + xy - {y^2}}} = \frac{{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}}{{2{x^2} + 2xy - xy - {y^2}}} = \frac{{y{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2x\left( {x + y} \right) - y\left( {x + y} \right)}}\\= \frac{{y{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} = \frac{{y\left( {x + y} \right)}}{{2x - y}} = \frac{{xy + {y^2}}}{{2x - y}}\end{array}\)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 3xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = \frac{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{{x - y}}\end{array}\)

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

Bài 10. Cho hai phân thức \(\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^4} - 2{x^2} + 1}};\frac{{5{x^3} + 10{x^2} + 5x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\).

Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^4} - 2{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x + 1}}\\\frac{{5{x^3} + 10{x^2} + 5x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} = \frac{{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \frac{{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \frac{{5x}}{{x + 1}}\end{array}\)

Bài 11. Tìm x, biết:

1. a²x + x = 2a⁴– 2 với a là hằng số
2. a²x + 3ax + 9 = a²với a là hằng số, a ≠0 và a ≠3

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\\{a^2}x + x = 2{a^4} - 2\\x\left( {{a^2} + 1} \right) = 2\left( {{a^4} - 1} \right)\\x = \frac{{2\left( {{a^4} - 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{2\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)}}{{{a^2} + 1}} = 2\left( {{a^2} - 1} \right)\\b)\\{a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\\ \Rightarrow ax\left( {a + 3} \right) = {a^2} - 9\\x = \frac{{{a^2} - 9}}{{a\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}}{{a\left( {a + 3} \right)}} = \frac{{a - 3}}{a}\\(a \ne 0;a \ne  - 3)\end{array}\)