Luyện tập quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (có đáp án)

  LUYỆN TẬP QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Tìm mẫu thức chung

– Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

– Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng)

+ Với mỗi cơ số của lũy thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với só mũ cao nhất

2. Quy đồng mẫu thức

Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

II. BÀI TẬP

Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{5}{{{x^5}{y^3}}},\frac{7}{{12{x^3}{y^4}}}\\b.\frac{4}{{15{x^3}{y^5}}},\frac{{11}}{{12{x^4}{y^2}}}\end{array}\)

Giải:

Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức: 

Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

a) MTC = 12x⁵y⁴

Nhân tử phụ:

12x⁵y⁴ : x⁵y³ = 12y

12x⁵y⁴ : 12x³y⁴ = x²

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{{x^5}{y^3}}} = \frac{{5.12y}}{{{x^5}{y^3}.12y}} = \frac{{60y}}{{12{x^5}{y^4}}}\\\frac{7}{{12{x^3}{y^4}}} = \frac{{7{x^2}}}{{12{x^3}{y^4}{x^2}}} = \frac{{7{x^2}}}{{12{x^5}{y^4}}}\end{array}\)

b) MTC = 60x⁴y⁵

Nhân tử phụ:

60x⁴y⁵ : 15x³y⁵ = 4x

60x⁴y⁵ : 12x⁴y² = 5y³

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{4}{{15{x^3}{y^5}}} = \frac{{4.4x}}{{15{x^3}{y^{^5}}.4x}} = \frac{{16x}}{{60{x^4}{y^5}}}\\\frac{{11}}{{12{x^4}{y^2}}} = \frac{{11.5{y^3}}}{{12{x^4}{y^2}.5{y^3}}} = \frac{{55{y^3}}}{{60{x^4}{y^5}}}\end{array}\)

Bài 2. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{5}{{2x + 6}},\frac{3}{{{x^2} - 9}}\\b.\frac{{2x}}{{{x^2} - 8x + 16}},\frac{x}{{3{x^2} - 12x}}\end{array}\)

Giải:

- Tìm mẫu thức chung.

- Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức.

a) Tìm MTC:

2x + 6 = 2(x + 3)

x² – 9 = (x – 3)(x + 3)

MTC = 2(x – 3)(x + 3) = 2(x² – 9)

Nhân tử phụ:

2(x – 3)(x + 3) : 2(x + 3) = x – 3

2(x – 3)(x + 3) : (x² – 9) = 2

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{2x + 6}} = \frac{5}{{2(x + 3)}} = \frac{{5(x - 3)}}{{2(x - 3)(x + 3)}}\\\frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{3}{{(x - 3)(x + 3)}} = \frac{{3.2}}{{2(x - 3)(x + 3)}} = \frac{6}{{2(x - 3)(x + 3)}}\end{array}\)

b) Tìm MTC:

x² – 8x + 16 = (x – 4)²

3x² – 12x = 3x(x – 4)

MTC = 3x(x – 4)²

Nhân tử phụ:

3x(x – 4)² : (x – 4)² = 3x

3x(x – 4)² : 3x(x – 4) = x – 4

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x}}{{{x^2} - 8x + 16}} = \frac{{2x}}{{{{(x - 4)}^2}}} = \frac{{2x.3x}}{{3x{{(x - 4)}^2}}} = \frac{{6{x^2}}}{{3x{{(x - 4)}^2}}}\\\frac{x}{{3{x^2} - 12}} = \frac{x}{{3x(x - 4)}} = \frac{{x(x - 4)}}{{3x{{(x - 4)}^2}}}\end{array}\)

Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}},\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}}, - 2\\b.\frac{{10}}{{x + 2}},\frac{5}{{2x - 4}},\frac{1}{{6 - 3x}}\end{array}\)

Giải:

- Tìm mẫu thức chung, áp dụng qui tắc đổi dấu.

- Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức.

a) Tìm MTC: x³– 1 = (x – 1)(x²+ x + 1)

Nên MTC = (x – 1)(x² + x + 1)

Nhân tử phụ:

(x³ – 1) : (x³ – 1) = 1

(x – 1)(x² + x + 1) : (x² + x + 1) = x – 1

(x – 1)(x² + x + 1) : 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\\frac{{1 - 2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{(x - 1)(1 - 2x)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\ - 2 = \frac{{ - 2({x^3} - 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\end{array}\)

b) Tìm MTC: x + 2

2x – 4 = 2(x – 2)

6 – 3x = 3(2 – x)

MTC = 6(x – 2)(x + 2)

Nhân tử phụ:

6(x – 2)(x + 2) : (x + 2) = 6(x – 2)

6(x – 2)(x + 2) : 2(x – 2) = 3(x + 2)

6(x – 2)(x + 2) : -3(x – 2) = -2(x + 2)

Qui đồng:

\(\begin{array}{l}\frac{{10}}{{x + 2}} = \frac{{10.6.(x - 2)}}{{6(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{60(x - 2)}}{{6(x - 2)(x + 2)}}\\\frac{5}{{2x - 4}} = \frac{5}{{x(x - 2)}} = \frac{{5.3(x + 2)}}{{2(x - 2).3(x + 2)}}\\\frac{1}{{6 - 3x}} = \frac{1}{{ - 3(x - 2)}} = \frac{{ - 2(x + 2)}}{{ - 3(x - 2).( - 2(x + 2))}}\end{array}\)

Bài 4: Đố. Cho hai phân thức: \(\frac{{5{x^2}}}{{{x^3} - 6{x^2}}},\frac{{3{x^2} + 18x}}{{{x^2} - 36}}\)

Khi qui đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn MTC = x²(x – 6)(x + 6), còn bạn Lan bảo rằng: "Quá đơn giản! MTC = x – 6". Đố em biết bạn nào đúng?

Giải:

- Cách làm của bạn Tuấn:

x³ – 6x² = x²(x – 6)

x² – 36 = x² – 6² = (x – 6)(x + 6)

MTC = x²(x – 6)(x + 6) => Nên bạn Tuấn làm đúng.

- Cách làm của bạn Lan:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3} - 6{{\rm{x}}^2}}} = \frac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2}\left( {x - 6} \right)}} = \frac{5}{{x - 6}}}\\{\frac{{3{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}}}{{{x^2} - 36}} = \frac{{3{\rm{x}}\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{x - 6}}}\end{array}\)

MTC = x – 6 => Nên bạn Lan làm đúng.

Vậy cả hai bạn đều làm đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo đúng qui tắc. Bạn Lan thì rút gọn các phân thức trước khi tìm MTC.

 Bài 5. Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3x}}{{2x + 4}}\& \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}}\\b.\frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}}\& \frac{x}{{3x + 6}}\end{array}\)

Giải:

Áp dụng qui tắc quy đồng mẫu thức:

Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân tử và mẫu của mỗi phânthức với nhân tử phụ tương ứng.

a) Ta có:

2x + 4 = 2(x + 2)

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

MTC : 2(x+2)(x-2)

Nhân tử phụ của MT 2x + 4 là: x – 2

Nhân tử phụ của MT x2 – 4 là: 2

\(\begin{array}{l}\frac{{3x}}{{2x + 4}} = \frac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x + 3} \right).2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).2}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\end{array}\)

b) Ta có:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

3x + 6 = 3(x + 2)

MTC : 3(x+2)²

Nhân tử phụ của MT x² + 4x + 4 là: 3

Nhân tử phụ của MT 3x + 6 là: x + 2

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{\left( {x + 5} \right).3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}.3}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\\frac{x}{{3x + 6}} = \frac{{x.\left( {x + 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Bài 6. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{1}{{x + 2}},\frac{8}{{2x - {x^2}}}\\b.{x^2} + 1,\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}}\\c.\frac{{{x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}},\frac{x}{{{y^2} - xy}}\end{array}\)

Giải:

a) Ta có:

x² – 2x = x(x – 2)

MTC:  x(x + 2)(x – 2)

Nhân tử phụ của MT x + 2 là: 2(x – 2)

Nhân tử phụ của MT x² – 2x là: x + 2

QĐ:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{{2 + x}} = \frac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}} = \frac{{2x - {x^2}}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\\\frac{8}{{2x - {x^2}}} = \frac{{8.(2 + x)}}{{x(2 - x)(2 + x)}} = \frac{{16 + 8x}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\end{array}\)

b) Ta có:

x² + 1 có mẫu là 1

MTC: x² – 1

Nhân tử phụ của MT 1 là: x² – 1

Nhân tử phụ của MT x² – 1 là: 1

QĐ:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 = \frac{{{x^2} + 1}}{1} = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\\frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)

c) Ta có:

x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = (x – y)³

y² – xy = y (y – x)= – y (x – y)

MTC: y (x – y)³

QĐ:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2}}} = \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} = \frac{{{x^3}y}}{{y{{\left( {x - y} \right)}^3}}}\\\frac{x}{{{y^2} - xy}} = \frac{x}{{y\left( {y - x} \right)}} = \frac{x}{{ - y\left( {x - y} \right)}} = \frac{{ - x}}{{y\left( {x - y} \right)}}\end{array}\)