Luyện tập quy đồng mẫu số nhiều phân thức (tiếp theo)_Có đáp án

Cập nhật lúc: 13:34 11-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Trong bài viết này, các em sẽ được củng cố lại kiến thức về quy đồng mẫu số nhiều phân thức qua các bài toán từ cơ bản đến nâng cao kèm theo hướng dẫn giải ngay bên dưới như: quy đồng mẫu thức, tìm mẫu thức chung, quy đồng khi có mẫu số cho trước...

  LUYỆN TẬP QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC (TIẾP)

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Cho hai phân thức : \(\frac{1}{{{x^2} + 3x - 10}},\frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}\)

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là x3 + 5x2 – 4x – 20.

 Giải:

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  x3 + 5x2 – 4x – 20 làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 5{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 20}\\{ = \left( {{x^3} + 5{{\rm{x}}^2}} \right) - \left( {4{\rm{x}} + 20} \right)}\\{ = {x^2}\left( {x + 5} \right) - 4\left( {x + 5} \right)}\\{ = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}\\{ = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}\\{ = \left( {{x^2} + 3{\rm{x}} - 10} \right)\left( {x + 2} \right)}\\{ = \left( {{x^2} + 7{\rm{x}} + 10} \right)\left( {x - 2} \right)}\end{array}\)

Suy ra: x3 + 5x2 – 4x – 20 là mẫu thức chung của hai phân thức

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2} + 3x - 10}} = \frac{{1\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}\\\frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}\end{array}\)

 Bài 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{25}}{{14{x^2}y}},\frac{{14}}{{21x{y^5}}}\\b.\frac{{11}}{{102{x^4}y}},\frac{3}{{34x{y^3}}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{12x{y^4}}},\frac{{y - 2}}{{9{x^2}{y^3}}}\\d.\frac{1}{{6{x^3}{y^2}}},\frac{{x + 1}}{{9{x^2}{y^4}}},\frac{{x - 1}}{{4x{y^3}}}\\e.\frac{{3 + 2x}}{{10{x^4}y}},\frac{5}{{8{x^2}{y^2}}},\frac{2}{{3x{y^5}}}\\f.\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}},\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}\\g.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}},\frac{{x - 2}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\h.\frac{5}{{3{x^3} - 12x}},\frac{3}{{\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14}}{{21x{y^5}}} = \frac{2}{{3x{y^5}}} = \frac{{2.14x}}{{3x{y^5}.14x}} = \frac{{28x}}{{42{x^2}{y^5}}};\frac{{25}}{{14{x^2}y}} = \frac{{25.3{y^4}}}{{14{x^2}y.3{y^4}}} = \frac{{75{y^4}}}{{42{x^2}{y^5}}}\\b.\frac{{11}}{{102{x^4}y}} = \frac{{11.{y^2}}}{{102{x^4}y.{y^2}}} = \frac{{11{y^2}}}{{102{x^4}{y^3}}};\frac{3}{{34x{y^3}}} = \frac{{3.3{x^3}}}{{34x{y^3}.3{x^3}}} = \frac{{9{x^3}}}{{102{x^4}{y^3}}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{12x{y^4}}} = \frac{{\left( {3x + 1} \right).3x}}{{12x{y^4}.3x}} = \frac{{9{x^2} + 3x}}{{36{x^2}{y^4}}};\frac{{y - 2}}{{9{x^2}{y^3}}} = \frac{{\left( {y - 2} \right).4y}}{{9{x^2}{y^3}.4y}} = \frac{{4{y^2} - 8y}}{{36{x^2}{y^4}}}\\d.\frac{1}{{6{x^3}{y^2}}} = \frac{{1.6{y^2}}}{{6{x^3}{y^2}.6{y^2}}} = \frac{{6{y^2}}}{{36{x^3}{y^4}}};\frac{{x + 1}}{{9{x^2}{y^4}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right).4x}}{{9{x^2}{y^4}.4x}} = \frac{{4{x^2} + 4x}}{{36{x^3}{y^4}}};\frac{{x - 1}}{{4x{y^3}}} = \frac{{\left( {x - 1} \right).9{x^2}y}}{{4x{y^3}.9{x^2}y}} = \frac{{9{x^3}y - 9{x^2}y}}{{36{x^3}{y^4}}}\\e.\frac{{3 + 2x}}{{10{x^4}y}} = \frac{{\left( {3 + 2x} \right).12{y^4}}}{{10{x^4}y.12{y^4}}} = \frac{{36{y^4} + 24x{y^4}}}{{120{x^4}{y^5}}};\\\frac{5}{{8{x^2}{y^2}}} = \frac{{5.15{x^2}{y^3}}}{{8{x^2}{y^2}.15{x^2}{y^3}}} = \frac{{75{x^2}{y^3}}}{{120{x^4}{y^5}}};\\\frac{2}{{3x{y^5}}} = \frac{{2.40{x^3}}}{{3x{y^5}.40{x^3}}} = \frac{{80{x^3}}}{{120{x^4}{y^5}}}\\f.\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right).3\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right).3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}};\\\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\g.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = \frac{{2x.2x}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = \frac{{4{x^2}}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}};\frac{{x - 2}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\\h.3{x^3} - 12x = 3x\left( {{x^2} - 4} \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\MTC = 6x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\\frac{5}{{3{x^3} - 12x}} = \frac{5}{{3x(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{5.2.(x + 3)}}{{3x(x - 2)(x + 2).2.(x + 3)}} = \frac{{10(x + 3)}}{{6x(x - 2)(x + 2)(x + 3)}}\\\frac{3}{{(2x + 4)(x + 3)}} = \frac{3}{{2(x + 2)(x + 3)}} = \frac{{3.3x.(x - 2)}}{{2(x + 2)(x + 3).3x(x - 2)}} = \frac{{9x(x - 2)}}{{6x(x + 2)(x - 2)(x + 3)}}\end{array}\)

 Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}},\frac{{5 - 3x}}{{{x^2} - 9}}\\b.\frac{{x + 1}}{{x - {x^2}}},\frac{{x + 2}}{{2 - 4x + 2{x^2}}}\\c.\frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}},\frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}},\frac{6}{{x - 1}}\\d.\frac{7}{{5x}},\frac{4}{{x - 2y}},\frac{{x - y}}{{8{y^2} - 2{x^2}}}\\e.\frac{{5{x^2}}}{{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}},\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 4}},\frac{3}{{2x + 4}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.MTC:2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\\\frac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{7x - 1}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{(7x - 1)(x - 3)}}{{2x(x + 3)(x - 3)}}\\\frac{{5 - 3x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{5 - 3x}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{2x(5 - 3x)}}{{2x(x + 3)(x - 3)}}\\b.MTC:2x{\left( {1 - x} \right)^2}\\\frac{{x + 1}}{{x - {x^2}}} = \frac{{x + 1}}{{x(1 - x)}} = \frac{{(x + 1).2(1 - x)}}{{x(1 - x).2(1 - x)}} = \frac{{2{{(1 - x)}^2}}}{{2x{{(1 - x)}^2}}}\\\frac{{x + 2}}{{2 - 4x + 2{x^2}}} = \frac{{x + 2}}{{2{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{(x + 2)x}}{{2x{{(1 - x)}^2}}}\\c.MTC:{x^3} - 1\\\frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{{x^3} - 1}}\\\frac{6}{{x - 1}} = \frac{{6({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{6({x^2} + x + 1)}}{{{x^3} - 1}}\\d.MTC:10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)\\\frac{7}{{5x}} = \frac{{7.2.(2y + x)(2y - x)}}{{5x.2.(2y + x)(2y - x)}} = \frac{{14.(2y + x)(2y - x)}}{{10x.(2y + x)(2y - x)}}\\\frac{4}{{x - 2y}} = \frac{{ - 4}}{{2y - x}} = \frac{{ - 4.10.(2y + x)}}{{(2y - x).10x(2y + x)}} = \frac{{ - 40x(2y + x)}}{{10x(2y + x)(2y - x)}}\\\frac{{x - y}}{{8{y^2} - 2{x^2}}} = \frac{{x - y}}{{2(2y + x)(2y - x)}} = \frac{{(x - y).5x}}{{2(2y + x)(2y - x).5x}}\\ = \frac{{5x(x - y)}}{{10x(2y + x)(2y - x)}}\\e.MTC:2{\left( {x + 2} \right)^3}\\\frac{{5{x^2}}}{{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}} = \frac{{5{x^2}}}{{{{(x + 2)}^3}}} = \frac{{5{x^2}.2}}{{{{(x + 2)}^3}.2}} = \frac{{10{x^2}}}{{2{{(x + x)}^3}}}\\\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{4x.2.(x + 2)}}{{{{(x + 2)}^2}.2(x + 2)}} = \frac{{8x(x + 2)}}{{2{{(x + 2)}^3}}}\\\frac{3}{{2x + 4}} = \frac{3}{{2(x + 2)}} = \frac{{3{{(x + 2)}^2}}}{{2(x + 2){{(x + 2)}^2}}} = \frac{{3{{(x + 2)}^2}}}{{x{{(x + 2)}^3}}}\end{array}\)

Bài 4. Cho đa thức\(B = 2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\) và hai phân thức \(\frac{x}{{2{x^2} + 7x - 15}};\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x - 10}}\).

a. Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho.

b. Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.

Giải: 

\(\begin{array}{l}b.MTC = 2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{x}{{2{x^2} + 7x - 15}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2{x^2} + 7x - 15} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}}}\\{}&{\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x - 10}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}}}\end{array}\end{array}\)

Bài 5. Cho hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - 4x - 5}};\frac{2}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức x3 – 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức.

Giải:       

\( \Rightarrow {x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 4x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)    

\( \Rightarrow {x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{1}{{{x^2} - 4x - 5}}}\\{}&{ = \frac{{1.\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} - 4x - 5} \right).\left( {x - 3} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}}}\\{}&{\frac{2}{{{x^2} - 2x - 3}} = \frac{{2.\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}}\\{}&{\;\; = \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}}}\end{array}\)

 

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021