Luyện tập phép trừ phân thức (Có đáp án)

  LUYỆN TẬP PHÉP TRỪ PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Phân thức đối.

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổn của chúng bằng 0

Phân thức đối của phân thức \(\frac{A}{B}\) được kí hiệu là\(\frac{-A}{B}\). Vậy \( - \frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{B}\&  - \frac{{ - A}}{B} = \frac{A}{B}\)

2. Phép trừ

Qui tắc: Muốn trừ phân thức\(\frac{A}{B}\) cho phân thức\(\frac{C}{D}\), ta cộng \(\frac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\frac{C}{D}\).

 Vậy: \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + ( - \frac{C}{D})\)

 II. BÀI TẬP

Bài 1. Theo quy tắc đổi dấu ta có \( - \frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{B}\&  - \frac{{ - A}}{B} = \frac{A}{B}\). Chẳng hạn, phân thức đối của \(\frac{4}{{5 - x}}\) là \( - \frac{4}{{5 - x}} = \frac{4}{{ - (5 - x)}} = \frac{4}{{x - 5}}\). Áp dụng điều này hãy điền những phân thức thích hợp vào những chỗ trống dưới đây:

\(\begin{array}{l}a. - \frac{{{x^2} + 2}}{{1 - 5x}} = ... = ...;\\b. - \frac{{4x + 1}}{{5 - x}} = ...\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a. - \frac{{{x^2} + 2}}{{1 - 5x}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{ - (1 - 5x)}} = \frac{{{x^2} + 2}}{{5x - 1}}\\b. - \frac{{4x + 1}}{{5 - x}} = \frac{{4x + 1}}{{ - (5 - x)}} = \frac{{4x + 1}}{{x - 5}}\end{array}\)

Bài 2. Làm tính trừ các phân thức sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}}\\b.\frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} - \frac{{5 - 9x}}{{2x - 1}}\\c.\frac{{11x}}{{2x - 3}} - \frac{{x - 18}}{{3 - 2x}}\\d.\frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} - \frac{{3x + 5}}{{4 - 10x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} - \frac{{7x - 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{4x - 1}}{{3{x^2}y}} + \frac{{ - (7x - 1)}}{{3{x^2}y}}\\ = \frac{{4x - 1 - 7x + 1}}{{3{x^2}y}} = \frac{{ - 3x}}{{3{x^2}y}} =  - \frac{1}{{xy}}\\b.\frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} - \frac{{5 - 9x}}{{2x - 1}} = \frac{{4x + 5}}{{2x - 1}} + \frac{{ - (5 - 9x)}}{{2x - 1}}\\ = \frac{{4x + 5 - 5 + 9x}}{{2x - 1}} = \frac{{13x}}{{2x - 1}}\\c.\frac{{11x}}{{2x - 3}} - \frac{{x - 18}}{{3 - 2x}} = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{x - 18}}{{ - (3 - 2x)}}\\ = \frac{{11x}}{{2x - 3}} + \frac{{x - 18}}{{2x - 3}} = \frac{{11x + x - 18}}{{2x - 3}} = \frac{{12x - 18}}{{2x - 3}} = 6\\d.\frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} - \frac{{3x + 5}}{{4 - 10x}} = \frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} + \frac{{3x + 5}}{{ - (4 - 10x)}}\\ = \frac{{2x - 7}}{{10x - 4}} + \frac{{3x + 5}}{{10x - 4}} = \frac{{2x - 7 + 3x + 5}}{{10x - 4}} = \frac{{5x - 2}}{{2(5x - 2)}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\\b.{x^2} + 1 - \frac{{{x^4} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{3}{{2x + 6}} - \frac{{x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{3}{{2(x + 3)}} + \frac{{ - (x - 6)}}{{2x(x + 3)}}\\ = \frac{{3x}}{{2x(x + 3)}} + \frac{{ - (x - 6)}}{{2x(x + 3)}}\\ = \frac{{3x - (x - 6)}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{3x - x + 6}}{{2x(x + 3)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{2(x + 3)}}{{2x(x + 3)}} = \frac{1}{x}\\b.{x^2} + 1 - \frac{{{x^4} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = {x^2} + 1 + \frac{{ - ({x^4} - 3{x^2} + 2)}}{{{x^2} - 1}}\\= \frac{{({x^2} + 1)({x^2} - 1) - {x^4} + 3{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^4} - 1 - {x^4} + 3{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3({x^2} - 1)}}{{{x^2} - 1}} = 3\end{array}\)

Bài 4: Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1:

\(\begin{array}{l}a.\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\\b.\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 - x}}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{{x(x + 1)}}\\b.\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}} = \frac{1}{{x(y - x)}} - \frac{1}{{y(y - x)}}\\ = \frac{y}{{xy(y - x)}} + \frac{{ - x}}{{xy(y - x)}} = \frac{{y - x}}{{xy(y - x)}} = \frac{1}{{xy}}\end{array}\)

Bài 5. Đố: Các em tính nhanh tổng sau:

\(\frac{1}{{x(x + 1)}} + \frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 4)}} + \frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}}\)

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\\\frac{1}{{(x + 2)(x + 1)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\\...\\\frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}} = \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{x(x + 1)}} + \frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 4)}} + \frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}} + \frac{1}{{(x + 5)(x + 6)}}\\ = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}} + .... + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}}\\ = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 6}} = \frac{{x + 6 - x}}{{x(x + 6)}} = \frac{6}{{x(x + 6)}}\end{array}\)

Bài 6. Làm các phép tính sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a)\,\,\frac{{4{\rm{x}}y - 5}}{{10{{\rm{x}}^3}y}} - \frac{{6{y^2} - 5}}{{10{{\rm{x}}^3}y}}}\\{b)\,\frac{{7{\rm{x}} + 6}}{{2{\rm{x}}\left( {x + 7} \right)}} - \frac{{3{\rm{x}} + 6}}{{2{{\rm{x}}^2} + 14{\rm{x}}}}}\end{array}\)

Giải:

Bài 7: Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính

\(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{a)\,\,\frac{{4x + 13}}{{5x\left( {x - 7} \right)}} - \frac{{x - 48}}{{5x\left( {7 - x} \right)}};}\\{}&{b)\,\,\frac{1}{{x - 5{x^2}}} - \frac{{25x - 15}}{{25{x^2} - 1}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4x + 13}}{{5x(x - 7)}} - \frac{{x - 48}}{{5x(7 - x)}}\\= \frac{{4x + 13}}{{5x(x - 7)}} + \frac{{x - 48}}{{5x(x - 7)}}\\ = \frac{{4x + 13 + x - 48}}{{5x(x - 7)}}\\ = \frac{{5x - 35}}{{5x(x - 7)}} = \frac{{5(x - 7)}}{{5x(x - 7)}} = \frac{1}{x}\\b.\frac{1}{{x - 5{x^2}}} - \frac{{25x - 15}}{{25{x^2} - 1}}\\ = \frac{1}{{x(1 - 5x)}} + \frac{{25x - 15}}{{1 - 25{x^2}}}\\ = \frac{1}{{x(1 - 5x)}} + \frac{{25x - 15}}{{(1 - 5x)(1 + 5x)}}\\ = \frac{{1 + 5x + x(25x - 15)}}{{x(1 - 5x)(1 + 5x)}}\\ = \frac{{1 - 10x + 25{x^2}}}{{x(1 - 5x)(1 + 5x)}}\\ = \frac{{{{(1 - 5x)}^2}}}{{x(1 - 5x)(1 + 5)}} = \frac{{1 - 5x}}{{x(1 + 5x)}}\end{array}\)

Bài 8.  Thực hiện các phép tính:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{1 - x}}{{x + 3}} - \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{9 - {x^2}}}\\b.\frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{x + 3}}{{1 - {x^2}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{1 - x}}{{x + 3}} - \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{9 - {x^2}}}\\ = \frac{{x + 1}}{{x - 3}} + \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{{x + 3}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{ - \left( {9 - {x^2}} \right)}}\\ = \frac{{x + 1}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 3}} + \frac{{2x\left( {1 - x} \right)}}{{{x^2} - 9}}\\ = \frac{{x + 1}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 2x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 4x + 3 + {x^2} - 4x + 3 + 2x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x - 3}}\\b.\frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{{x + 3}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{ - 1}}{{x + 1}} + \frac{{ - \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\= \frac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{ - 1}}{{x + 1}} + \frac{{ - \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} + 4x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} + 4x + 1 - {x^2} + 2x - 1 - {x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

 Bài 9. Một công ty may phải sản xuất 10000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.

a) Hãy biểu diễn qua x:
– Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày kế hoạch;
– Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày
– Số sản phẩm làm thêm trong một ngày
b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25

Giải:

a) Hãy biểu diễn qua x
Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch: 10000/x (sản phẩm)
Công ty làm xong sớm 1 ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm nên số sản phẩm thực tế đã làm được trong 1 ngày
(10000 + 80)/ (x -1) = 10080/(x-1) (sản phẩm)
Số sản phẩm làm thêm trong 1 ngày: 10080/(x -1) – 10000/x (sản phẩm)

b) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25 là P

 \(P = \frac{{10080}}{{25 - 1}} - \frac{{10000}}{{25}} = \frac{{10080}}{{24}} - \frac{{10000}}{{25}} = 420 - 200 = 20\) (sản phẩm)

Bài 10. Đố: Cho phân thức: \(\frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} - 3}}\) Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm thì được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho.

Giải: