Luyện tập phép nhân phân thức đại số

Cập nhật lúc: 21:12 11-12-2018 Mục tin: LỚP 8


Trong bài viết này, các em được cung cấp kiến thức về phép nhân các phân thức. Phần lý thuyết sẽ giúp các em biết cách làm thế nào để nhân các phân thức với nhau và các tính chất liên quan như phân phối, giao hoán, kết hợp. Phần bài tập bao gồm các bài toán luyện tập đa dạng như tính toán, giải toán có lời văn, rút gọn phân thức, toán đố...các em có thể ôn luyện củng cố kỹ năng và so sánh với đáp án hướng dẫn ở bên dưới.

  LUYỆN TẬP PHÉP NHÂN PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Qui tắc

Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau rồi rút gọn phân thức vừa tìm đươc: \[\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\]

2. Các tính chất

a) Giao hoán

\[\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{C}{D}.\frac{A}{B}\]

b) Kết hợp
\[(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}).\frac{E}{F} = \frac{A}{B}.(\frac{C}{D}.\frac{E}{F})\]

c) Phân phối đối với phép cộng

\[\frac{A}{B}.(\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B}.\frac{C}{D} + \frac{A}{B}.\frac{E}{F}\]

 II. BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{15x}}{{7{y^3}}}.\frac{{2{y^2}}}{{{x^2}}}\\b.\frac{{4{y^2}}}{{11{x^4}}}.( - \frac{{3{x^2}}}{{8y}})\\c.\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}}.\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{15x}}{{7{y^3}}}.\frac{{2{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{15x.2{y^2}}}{{7{y^3}{x^2}}} = \frac{{30x{y^2}}}{{7{x^2}{y^3}}} = \frac{{30}}{{7xy}}\\b.\frac{{4{y^2}}}{{11{x^4}}}.( - \frac{{3{x^2}}}{{8y}}) =  - \frac{{4{y^2}.3{x^2}}}{{11{x^4}.8y}} =  - \frac{{3{x^2}{y^2}}}{{11.2{x^4}y}} =  - \frac{{3y}}{{22{x^2}}}\\c.\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}}.\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \frac{{({x^3} - 8)({x^2} + 4x)}}{{5(x + 4)({x^2} + 2x + 4)}}\\ = \frac{{x(x - 2)({x^2} + 2x + 4)(x + 4)}}{{5(x + 4)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{x(x - 2)}}{5}\end{array}\]

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 10}}{{4x - 8}}.\frac{{4 - 2x}}{{x + 2}}\\b.\frac{{{x^2} - 36}}{{2x + 10}}.\frac{3}{{6 - x}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 10}}{{4x - 8}}.\frac{{4 - 2x}}{{x + 2}}\\ = \frac{{(5x + 10).(4 - 2x)}}{{(4x - 8).(x + 2)}} = \frac{{5(x + 2).2(2 - x)}}{{4(x - 2)(x + 2)}}\\ = \frac{{5(2 - x)}}{{2(x - 2)}} =  - \frac{5}{2}\\b.\frac{{{x^2} - 36}}{{2x + 10}}.\frac{3}{{6 - x}}\\ = \frac{{({x^2} - 36).3}}{{(6 - x)(2x + 10)}}\\ = \frac{{ - 3(6 - x)(x + 6)}}{{2(x + 5)(6 - x)}} =  - \frac{{3(x + 6)}}{{2(x + 5)}}\end{array}\]

Bài 3. Rút gọn biếu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\]

Giải:

Áp dụng tính phân phối: 

\[\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}{x} + \frac{{(x - 1){x^3}}}{{x(x - 1)}}\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{x} + \frac{{{x^3}}}{x} = \frac{{{x^3} - 1 + {x^3}}}{x} = \frac{{2{x^3} - 1}}{x}\end{array}\]

Không áp dụng tính phân phối:

\[\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{x - 1}}{x}.(\frac{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}}{{x - 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{x - 1}}{x}.(\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}}) = \frac{{x - 1}}{x}.\frac{{{x^3} - 1 + {x^3}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{(x - 1)(2{x^3} - 1)}}{{x(x - 1)}} = \frac{{2{x^3} - 1}}{x}\end{array}\]

Bài 4: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của phép nhân dưới đây những phân  thức có mẫu thức bằng tử thức cộng với 1

\[\frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}}.... = \frac{1}{{x + 7}}\]

Giải:

\[\frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{x + 3}}.\frac{{x + 3}}{{x + 4}}.\frac{{x + 5}}{{x + 6}}.\frac{{x + 6}}{{x + 7}} = \frac{1}{{x + 7}}\]

Bài 5. Làm tính nhân phân thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{30{x^3}}}{{11{y^2}}}.\frac{{121{y^5}}}{{25x}}\\b.\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{21x}}{{12{y^3}}}} \right)\\c.\left({ - \frac{{18{y^3}}}{{25{x^4}}}} \right).\left( { - \frac{{15{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right)\\d.\frac{{4x + 8}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}}}.\frac{{2x - 20}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\e.\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}}.\frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{30{x^3}}}{{11{y^2}}}.\frac{{121{y^5}}}{{25x}} = \frac{{30{x^3}.121{y^5}}}{{11{y^2}.25x}} = \frac{{6{x^2}.11{y^3}}}{{1.5}} = \frac{{66{x^2}{y^3}}}{5}\\b.\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{21x}}{{12{y^3}}}} \right) = \frac{{24{y^5}.\left( { - 21x} \right)}}{{7{x^2}.12{y^3}}} = \frac{{2{y^2}.\left( { - 3} \right)}}{x} =  - \frac{{6{y^2}}}{x}\\c.\left( { - \frac{{18{y^3}}}{{25{x^4}}}} \right).\left( { - \frac{{15{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right) = \frac{{\left( { - 18{y^3}} \right).\left( { - 15{x^2}} \right)}}{{25{x^4}.9{y^3}}} = \frac{{ - 2.\left( { - 3} \right)}}{{5{x^2}.1}} = \frac{6}{{5{x^2}}}\\d.\frac{{4x + 8}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}}}.\frac{{2x - 20}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{4\left( {x + 2} \right).2\left( {x - 10} \right)}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{8}{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\\e.\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}}.\frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right).4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\\= \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{6{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}\end{array}\]

Bài 6. Rút gọn các biểu thức (chú ý dùng quy tắc đổi dấu để thay nhân tử chung):

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}}\\b.\frac{{6x - 3}}{{5{x^2} + x}}.\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 8{x^3}}}\\c.\frac{{3{x^2} - x}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - {x^4}}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right).9\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{2^3} - {{3.2}^2}.x + 3.2{x^2} - {x^3}}}{{9\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}{{ - 9\left( {x + 2} \right)\left( {2 - x} \right)}} =  - \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{9\left( {x + 2} \right)}}\\b.\frac{{6x - 3}}{{5{x^2} + x}}.\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 8{x^3}}} = \frac{{3\left( {2x - 1} \right){{\left( {5x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {5x + 1} \right)\left[ {1 - {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{3\left( {2x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\\ =  - \frac{{3\left( {2x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {2x - 1} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}} =  - \frac{{3\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\\c.\frac{{3{x^2} - x}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - {x^4}}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\]

Bài 7: Phân tích các mẫu thức và các mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử hoặc một hạng tử thành hai hạng tử) rồi rút gọn biểu thức.

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}}\\b.\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 8}}.\frac{{4 - x}}{{{x^2} + x}}\\c.\frac{{x + 2}}{{4x + 24}}.\frac{{{x^2} - 36}}{{{x^2} + x - 2}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3x + 6} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left[ {x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1\\b.\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 8}}.\frac{{4 - x}}{{{x^2} + x}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x - 8} \right)x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4 - x}}{{\left( {{x^2} - 4x + 2x - 8} \right)x}}\\ = \frac{{4 - x}}{{\left[ {x\left( {x - 4} \right) + 2\left( {x - 4} \right)} \right]x}} = \frac{{4 - x}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  - \frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  - \frac{1}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\c.\frac{{x + 2}}{{4x + 24}}.\frac{{{x^2} - 36}}{{{x^2} + x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left[ {x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{4\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\]

 Bài 8.   Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{21 - x}}{{x + 1}}\\b.\frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{4x - 2}}{{x + 1945}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{21 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\left( {\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{21 - x}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{x + 1975}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}\left( {x + 1975} \right)}}{{\left( {x + 1975} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1}}\\b.\frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{4x - 2}}{{x + 1945}} = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\left( {\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{4x - 2}}{{x + 1945}}} \right)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\left( {\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} + \frac{{2 - 4x}}{{x + 1945}}} \right) = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{x - 7}}{{x + 1945}} = \frac{{\left( {19x + 8} \right)\left( {x - 7} \right)}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {x + 1945} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{19x + 8}}{{x + 1945}}}\end{array}\end{array}\]

 Bài 9. Tính tích x.y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số):

a, (4a2 – 9)x = 4a + 4; với a ≠± 3/2 và (3a3 + 3)y = 6a2 + 9a với a ≠ - 1

b, (2a3 – 2b3)x – 3b = 3a; với a ≠ b và (6a + 6b)y = (a – b)2 với a ≠ - b

Giải:

 

Bài 10. Rút gọn biểu thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} + 15x + 7}}{{2{x^3} + 2}}.\frac{x}{{14{x^2} + 1}}.\frac{{4{x^3} + 4}}{{{x^4} + 15x + 7}}\\b.\frac{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{3x}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} + 15x + 7}}{{2{x^3} + 2}}.\frac{x}{{14{x^2} + 1}}.\frac{{4{x^3} + 4}}{{{x^4} + 15x + 7}}\\ = \frac{{\left( {{x^4} + 15x + 7} \right).x.\left( {4{x^3} + 4} \right)}}{{\left( {2{x^3} + 2} \right).\left( {14{x^2} + 1} \right).\left( {{x^4} + 15x + 7} \right)}} = \frac{{4x\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {14{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{14{x^2} + 1}}\\b.\frac{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{3x}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^7} + 3{x^2} + 2}} = \frac{{\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right).3x.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right)}}\\ = \frac{{3x\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\]

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021