Luyện tập phép nhân phân thức đại số

  LUYỆN TẬP PHÉP NHÂN PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Qui tắc

Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau rồi rút gọn phân thức vừa tìm đươc: \[\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\]

2. Các tính chất

a) Giao hoán

\[\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{C}{D}.\frac{A}{B}\]

b) Kết hợp
\[(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}).\frac{E}{F} = \frac{A}{B}.(\frac{C}{D}.\frac{E}{F})\]

c) Phân phối đối với phép cộng

\[\frac{A}{B}.(\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B}.\frac{C}{D} + \frac{A}{B}.\frac{E}{F}\]

 II. BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{15x}}{{7{y^3}}}.\frac{{2{y^2}}}{{{x^2}}}\\b.\frac{{4{y^2}}}{{11{x^4}}}.( - \frac{{3{x^2}}}{{8y}})\\c.\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}}.\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{15x}}{{7{y^3}}}.\frac{{2{y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{15x.2{y^2}}}{{7{y^3}{x^2}}} = \frac{{30x{y^2}}}{{7{x^2}{y^3}}} = \frac{{30}}{{7xy}}\\b.\frac{{4{y^2}}}{{11{x^4}}}.( - \frac{{3{x^2}}}{{8y}}) =  - \frac{{4{y^2}.3{x^2}}}{{11{x^4}.8y}} =  - \frac{{3{x^2}{y^2}}}{{11.2{x^4}y}} =  - \frac{{3y}}{{22{x^2}}}\\c.\frac{{{x^3} - 8}}{{5x + 20}}.\frac{{{x^2} + 4x}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \frac{{({x^3} - 8)({x^2} + 4x)}}{{5(x + 4)({x^2} + 2x + 4)}}\\ = \frac{{x(x - 2)({x^2} + 2x + 4)(x + 4)}}{{5(x + 4)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{x(x - 2)}}{5}\end{array}\]

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 10}}{{4x - 8}}.\frac{{4 - 2x}}{{x + 2}}\\b.\frac{{{x^2} - 36}}{{2x + 10}}.\frac{3}{{6 - x}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{5x + 10}}{{4x - 8}}.\frac{{4 - 2x}}{{x + 2}}\\ = \frac{{(5x + 10).(4 - 2x)}}{{(4x - 8).(x + 2)}} = \frac{{5(x + 2).2(2 - x)}}{{4(x - 2)(x + 2)}}\\ = \frac{{5(2 - x)}}{{2(x - 2)}} =  - \frac{5}{2}\\b.\frac{{{x^2} - 36}}{{2x + 10}}.\frac{3}{{6 - x}}\\ = \frac{{({x^2} - 36).3}}{{(6 - x)(2x + 10)}}\\ = \frac{{ - 3(6 - x)(x + 6)}}{{2(x + 5)(6 - x)}} =  - \frac{{3(x + 6)}}{{2(x + 5)}}\end{array}\]

Bài 3. Rút gọn biếu thức sau theo hai cách (sử dụng và không sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\]

Giải:

Áp dụng tính phân phối: 

\[\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}{x} + \frac{{(x - 1){x^3}}}{{x(x - 1)}}\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{x} + \frac{{{x^3}}}{x} = \frac{{{x^3} - 1 + {x^3}}}{x} = \frac{{2{x^3} - 1}}{x}\end{array}\]

Không áp dụng tính phân phối:

\[\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{x}.({x^2} + x + 1 + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{x - 1}}{x}.(\frac{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}}{{x - 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}})\\ = \frac{{x - 1}}{x}.(\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x - 1}}) = \frac{{x - 1}}{x}.\frac{{{x^3} - 1 + {x^3}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{(x - 1)(2{x^3} - 1)}}{{x(x - 1)}} = \frac{{2{x^3} - 1}}{x}\end{array}\]

Bài 4: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của phép nhân dưới đây những phân  thức có mẫu thức bằng tử thức cộng với 1

\[\frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}}.... = \frac{1}{{x + 7}}\]

Giải:

\[\frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{x + 3}}.\frac{{x + 3}}{{x + 4}}.\frac{{x + 5}}{{x + 6}}.\frac{{x + 6}}{{x + 7}} = \frac{1}{{x + 7}}\]

Bài 5. Làm tính nhân phân thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{30{x^3}}}{{11{y^2}}}.\frac{{121{y^5}}}{{25x}}\\b.\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{21x}}{{12{y^3}}}} \right)\\c.\left({ - \frac{{18{y^3}}}{{25{x^4}}}} \right).\left( { - \frac{{15{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right)\\d.\frac{{4x + 8}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}}}.\frac{{2x - 20}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\e.\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}}.\frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{30{x^3}}}{{11{y^2}}}.\frac{{121{y^5}}}{{25x}} = \frac{{30{x^3}.121{y^5}}}{{11{y^2}.25x}} = \frac{{6{x^2}.11{y^3}}}{{1.5}} = \frac{{66{x^2}{y^3}}}{5}\\b.\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{21x}}{{12{y^3}}}} \right) = \frac{{24{y^5}.\left( { - 21x} \right)}}{{7{x^2}.12{y^3}}} = \frac{{2{y^2}.\left( { - 3} \right)}}{x} =  - \frac{{6{y^2}}}{x}\\c.\left( { - \frac{{18{y^3}}}{{25{x^4}}}} \right).\left( { - \frac{{15{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right) = \frac{{\left( { - 18{y^3}} \right).\left( { - 15{x^2}} \right)}}{{25{x^4}.9{y^3}}} = \frac{{ - 2.\left( { - 3} \right)}}{{5{x^2}.1}} = \frac{6}{{5{x^2}}}\\d.\frac{{4x + 8}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}}}.\frac{{2x - 20}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{4\left( {x + 2} \right).2\left( {x - 10} \right)}}{{{{\left( {x - 10} \right)}^3}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{8}{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\\e.\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}}.\frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 10x + 25} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right).4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\\= \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{6{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}\end{array}\]

Bài 6. Rút gọn các biểu thức (chú ý dùng quy tắc đổi dấu để thay nhân tử chung):

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}}\\b.\frac{{6x - 3}}{{5{x^2} + x}}.\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 8{x^3}}}\\c.\frac{{3{x^2} - x}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - {x^4}}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}}.\frac{{8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {8 - 12x + 6{x^2} - {x^3}} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right).9\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{2^3} - {{3.2}^2}.x + 3.2{x^2} - {x^3}}}{{9\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}{{ - 9\left( {x + 2} \right)\left( {2 - x} \right)}} =  - \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{9\left( {x + 2} \right)}}\\b.\frac{{6x - 3}}{{5{x^2} + x}}.\frac{{25{x^2} + 10x + 1}}{{1 - 8{x^3}}} = \frac{{3\left( {2x - 1} \right){{\left( {5x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {5x + 1} \right)\left[ {1 - {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{3\left( {2x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\\ =  - \frac{{3\left( {2x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {2x - 1} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}} =  - \frac{{3\left( {5x + 1} \right)}}{{x\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\\c.\frac{{3{x^2} - x}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - {x^4}}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {1 - 3x} \right)}^3}}} = \frac{{x\left( {3x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\]

Bài 7: Phân tích các mẫu thức và các mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử hoặc một hạng tử thành hai hạng tử) rồi rút gọn biểu thức.

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}}\\b.\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 8}}.\frac{{4 - x}}{{{x^2} + x}}\\c.\frac{{x + 2}}{{4x + 24}}.\frac{{{x^2} - 36}}{{{x^2} + x - 2}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{x - 2}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 3x + 6} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left[ {x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1\\b.\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 8}}.\frac{{4 - x}}{{{x^2} + x}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x - 8} \right)x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4 - x}}{{\left( {{x^2} - 4x + 2x - 8} \right)x}}\\ = \frac{{4 - x}}{{\left[ {x\left( {x - 4} \right) + 2\left( {x - 4} \right)} \right]x}} = \frac{{4 - x}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  - \frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  - \frac{1}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\c.\frac{{x + 2}}{{4x + 24}}.\frac{{{x^2} - 36}}{{{x^2} + x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left[ {x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 6} \right)}}{{4\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{4\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\]

 Bài 8.   Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{21 - x}}{{x + 1}}\\b.\frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{4x - 2}}{{x + 1945}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{21 - x}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\left( {\frac{{2x + 1954}}{{x + 1}} + \frac{{21 - x}}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3}}}{{x + 1975}}.\frac{{x + 1975}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}\left( {x + 1975} \right)}}{{\left( {x + 1975} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1}}\\b.\frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{4x - 2}}{{x + 1945}} = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\left( {\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} - \frac{{4x - 2}}{{x + 1945}}} \right)\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{ = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\left( {\frac{{5x - 9}}{{x + 1945}} + \frac{{2 - 4x}}{{x + 1945}}} \right) = \frac{{19x + 8}}{{x - 7}}.\frac{{x - 7}}{{x + 1945}} = \frac{{\left( {19x + 8} \right)\left( {x - 7} \right)}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {x + 1945} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{19x + 8}}{{x + 1945}}}\end{array}\end{array}\]

 Bài 9. Tính tích x.y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số):

a, (4a² – 9)x = 4a + 4; với a ≠± 3/2 và (3a³ + 3)y = 6a² + 9a với a ≠ - 1

b, (2a³ – 2b³)x – 3b = 3a; với a ≠ b và (6a + 6b)y = (a – b)² với a ≠ - b

Giải:

Bài 10. Rút gọn biểu thức:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} + 15x + 7}}{{2{x^3} + 2}}.\frac{x}{{14{x^2} + 1}}.\frac{{4{x^3} + 4}}{{{x^4} + 15x + 7}}\\b.\frac{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{3x}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}\end{array}\]

Giải:

\[\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} + 15x + 7}}{{2{x^3} + 2}}.\frac{x}{{14{x^2} + 1}}.\frac{{4{x^3} + 4}}{{{x^4} + 15x + 7}}\\ = \frac{{\left( {{x^4} + 15x + 7} \right).x.\left( {4{x^3} + 4} \right)}}{{\left( {2{x^3} + 2} \right).\left( {14{x^2} + 1} \right).\left( {{x^4} + 15x + 7} \right)}} = \frac{{4x\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {14{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{14{x^2} + 1}}\\b.\frac{{{x^7} + 3{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{3x}}{{x + 1}}.\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^7} + 3{x^2} + 2}} = \frac{{\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right).3x.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right)}}\\ = \frac{{3x\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\]