Luyện tập phép cộng phân thức (có đáp án)

  LUYỆN TẬP PHÉP CỘNG PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.              \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\)

2. Cộng phân thức có mẫu thức khác nhau

Qui tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức vừa tìm được.              \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BD}} + \frac{{CB}}{{BD}} = \frac{{AD + BC}}{{BD}}\)

3. Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

– Giao hoán:

\(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}\)

– Kết hợp:

\((\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})\)

II. BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3x - 5}}{7} + \frac{{4x + 5}}{7}\\b.\frac{{5xy - 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}}\\c.\frac{{x + 1}}{{x - 5}} + \frac{{x - 18}}{{x - 5}} + \frac{{x + 2}}{{x - 5}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{3x - 5}}{7} + \frac{{4x + 5}}{7} = \frac{{3x - 5 + 4x + 5}}{7} = \frac{{7x}}{7} = x\\b.\frac{{5xy - 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} = \frac{{5xy - 4y + 3xy + 4y}}{{2{x^2}{y^3}}} = \frac{{8xy}}{{2{x^2}{y^3}}} = \frac{4}{{x{y^2}}}\\c.\frac{{x + 1}}{{x - 5}} + \frac{{x - 18}}{{x - 5}} + \frac{{x + 2}}{{x - 5}} = \frac{{x + 1 + x - 18 + x + 2}}{{x - 5}} = \frac{{3x - 15}}{{x - 5}} = \frac{{3(x - 5)}}{{x - 5}} = 3\end{array}\)

Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\b.\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{ - (x + 1)}}{{(x - 1)}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - x}}{{x - 1}} + \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 1}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = x - 1\\b.\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\\ = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{ - (2x - 2{x^2})}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\\ = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2{x^2} - 2x}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\\= \frac{{4 - {x^2} + 2{x^2} - 2x + 5 - 4x}}{{x - 3}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}}\\ = \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3\end{array}\)

Bài 3. Làm các phép tính sau

\(\begin{array}{l}a.\frac{y}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{4x}}{{{y^2} - 2xy}}\\b.\frac{1}{{x + 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 4}} + \frac{{x - 14}}{{({x^2} + 4x + 4)(x - 2)}}\\c.\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\d.\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{y}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{4x}}{{{y^2} - 2xy}}\\ = \frac{y}{{x(2x - y)}} + \frac{{ - 4x}}{{y(2x - y)}}\\ = \frac{{{y^2}}}{{xy(2x - y)}} + \frac{{ - 4{x^2}}}{{xy(2x - y)}}\\ = \frac{{ - (2x - y)(y + 2x)}}{{xy(2x - y)}} = \frac{{ - (2x + y)}}{{xy}}\\b.\frac{1}{{x + 2}} + \frac{3}{{{x^2} - 4}} + \frac{{x - 14}}{{({x^2} + 4x + 4)(x - 2)}}\\ = \frac{1}{{x + 2}} + \frac{3}{{(x - 2)(x + 2)}} + \frac{{x - 14}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}\\ = \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}} + \frac{{3(x + 2)}}{{(x - 2){{(x + 2)}^2}}} + \frac{{x - 14}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}\\ = \frac{{{x^2} - 4 + 3x + 6 + x - 14}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}} = \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}\\= \frac{{{x^2} - 2x + 6x - 12}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}} = \frac{{x(x - 2) + 6(x - 2)}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}\\ = \frac{{(x - 2)(x + 6)}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}} = \frac{{x + 6}}{{{{(x + 2)}^2}}}\\c.\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{4x + 7}}{{(x + 2)(4x + 7)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{4x + 8}}{{(x + 2)(4x + 7)}} = \frac{{4(x + 2)}}{{(x + 2)(4x + 7)}} = \frac{4}{{4x + 7}}\\d.\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{x + 2}}{{(x + 3)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{(x + 3)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{4x + 7}}{{(x + 2)(4x + 7)}} + \frac{1}{{(x + 2)(4x + 7)}}\\ = \frac{{4x + 8}}{{(x + 2)(4x + 7)}} = \frac{{4(x + 2)}}{{(x + 2)(4x + 7)}} = \frac{4}{{4x + 7}}\end{array}\)

Bài 4: Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3m thì mèo bắt được chuột. Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả cho chuột chạy. Sau đó 15 giây mèo lại đuổi bắt, nhưng với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lần đầu là 0,5m/s. Chạy được 5m mèo lại bắt được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc.

Hãy biểu diễn qua x:

– Thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột

– Thời gian lần thứ 2 mèo đuổi bắt được chuột

– Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn.

Giải:

Thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột là 3/x (giây)

– Thời gian lần thứ hai mèo bắt được chuột là  5/(x - 0,5) (giây)

– Thời gian kể từ lúc đầu đến khi kết thúc cuộc săn: 3/x  + 40 + 15 +  5/(x -0,5) (giây)

hay  3/x + 55 + 5/(x -0,5) (giây)

Bài 5. Làm tính cộng các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a)\frac{5}{{2{x^2}y}} + \frac{3}{{5x{y^2}}} + \frac{x}{{{y^3}}}\\b)\frac{{x + 1}}{{2x + 6}} + \frac{{2x + 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\c)\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{25 - x}}{{25 - 5x}}\\d){x^2} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} + 1\\e)\frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{{x^3} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{6}{{1 - x}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\frac{5}{{2{x^2}y}} + \frac{3}{{5x{y^2}}} + \frac{x}{{{y^3}}}\\= \frac{{5.5{y^2}}}{{2{x^2}y.5{y^2}}} + \frac{{3.2xy}}{{5x{y^2}.2xy}} + \frac{{x.10{x^2}}}{{{y^3}.10{x^2}}}\\ = \frac{{25{y^2}}}{{10{x^2}{y^3}}} + \frac{{6xy}}{{10{x^2}{y^3}}} + \frac{{10{x^3}}}{{10{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{25{y^2} + 6xy + 10{x^3}}}{{10{x^2}{y^3}}}\\b)\frac{{x + 1}}{{2x + 6}} + \frac{{2x + 3}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {2x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 4x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 5x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2x + 3x + 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\\c)\frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{25 - x}}{{25 - 5x}}\\ = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{25 - x}}{{25 - 5x}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 5x}} + \frac{{x - 25}}{{5x - 25}}\\ = \frac{{3x + 5}}{{x\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{x - 25}}{{5\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{5\left( {3x + 5} \right)}}{{5x\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 25} \right)}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{15x + 25 + {x^2} - 25x}}{{5x\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{5x\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{5x\left( {x - 5} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{5x}}\\d){x^2} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} + 1 = 1 + {{\rm{x}}^2} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{{x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}}\\ = \frac{{1 - {x^4} + {x^4} + 1}}{{1 - {x^2}}} = \frac{2}{{1 - {x^2}}}\\e)\frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{{x^3} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{6}{{1 - x}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17 + \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} - 3x + 17 + 2{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - 12x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 12\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{ - 12}}{{{x^2} + x + 1}}\end{array}\)

 Bài 6. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600 m³ đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên mấy làm việc với năng suất trung bình x m³/ngày và đội đào được 5000m³. Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất mỗi máy tăng 25m³/ngày.

a) Hãy biểu diễn:

– Thời gian xúc 5000m³ đầu tiên;

– Thời gian làm nốt phần việc còn lại;

– Thời gian làm việc để hoàn thành công việc

b) Tính thời gian làm việc để hoàn thành công việc với x = 250m³/ngày.

Giải:

a) Thời gian xúc 5000 m³ đầu tiên là t₁ = 5000/x (ngày)

Khối lượng công việc còn lại là: 11600 – 5000 = 6600 (m³)

Năng suất của máy: x + 25 (m³/ngày)

Thời gian làm nốt công việc còn lại là t₂ = 6600/(x +25) (ngày)

b) Thời gian hoàn thành công việc: t = t₁ + t₂ = 5000/x + 6600/(x + 25) (ngày).

Bài 7: Đố: Rút gọn rồi Tính giá trị biểu thức \(\frac{{{x^2}}}{{5{\rm{x}} + 25}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \frac{{50 + 5{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)

tại x = -4. Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày còn mẫu số là tháng thì đó chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố em biết đó là ngày gì?

Giải:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{5x + 25}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \frac{{50 + 5x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^2}}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{x} + \frac{{50 + 5x}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3}}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right).5\left( {x + 5} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5\left( {50 + 5x} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 10{x^2} + 25x}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 10x + 25} \right)}}{{5x\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{x{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{5x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x + 5}}{5}\end{array}\)

Với x=−4 giá trị của phân thức rút gọn bằng 1/5. Nếu coi tử số của phân số tìm được là ngày (ngày 1) còn mẫu số là tháng (tháng 5) thì đó chính là một ngày lễ trên thế giới: Ngày quốc tế lao động.
Bài 8.  Cộng các phân thức cùng mẫu thức

\(\begin{array}{l}a.\frac{{1 - 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{3 + 2y}}{{6{x^3}y}} + \frac{{2x - 4}}{{6{x^3}y}}\\b.\frac{{{x^2} - 2}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{{x^2} - 3x + 1}} + \frac{{{x^2} - 6x}}{{{x^2} - 3x + 1}}\\d.\frac{{{x^2} + 38x + 4}}{{2{x^2} + 17x + 1}} + \frac{{3{x^2} - 4x - 2}}{{2{x^2} + 17x + 1}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{1 - 2x}}{{6{x^3}y}} + \frac{{3 + 2y}}{{6{x^3}y}} + \frac{{2x - 4}}{{6{x^3}y}} = \frac{{1 - 2x + 3 + 2y + 2x - 4}}{{6{x^3}y}} = \frac{{2y}}{{6{x^3}y}} = \frac{1}{{3{x^3}}}\\b.\frac{{{x^2} - 2}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{{x^2} - 3x + 1}} + \frac{{{x^2} - 6x}}{{{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{3x + 1 + {x^2} - 6x}}{{{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 3x + 1}} = 1\\d.\frac{{{x^2} + 38x + 4}}{{2{x^2} + 17x + 1}} + \frac{{3{x^2} - 4x - 2}}{{2{x^2} + 17x + 1}} = \frac{{{x^2} + 38x + 4 + 3{x^2} - 4x - 2}}{{2{x^2} + 17x + 1}} = \frac{{4{x^2} + 34x + 2}}{{2{x^2} + 17x + 1}} = \frac{{2\left( {2{x^2} + 17x + 1} \right)}}{{2{x^2} + 17x + 1}} = 2\end{array}\)

Bài 9. Cộng các phân thức khác mẫu thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{5}{{6{x^2}y}} + \frac{7}{{12x{y^2}}} + \frac{{11}}{{18xy}}\\b.\frac{{4x + 2}}{{15{x^3}y}} + \frac{{5y - 3}}{{9{x^2}y}} + \frac{{x + 1}}{{5x{y^3}}}\\c.\frac{3}{{2x}} + \frac{{3x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{2{x^2} + 1}}{{4{x^2} - 2x}}\\d.\frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{5}{{6{x^2}y}} + \frac{7}{{12x{y^2}}} + \frac{{11}}{{18xy}} = \frac{{30y}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{21x}}{{36{x^2}{y^2}}} + \frac{{22xy}}{{36{x^2}{y^2}}} = \frac{{30y + 21x + 22xy}}{{36{x^2}{y^2}}}\\b.\frac{{4x + 2}}{{15{x^3}y}} + \frac{{5y - 3}}{{9{x^2}y}} + \frac{{x + 1}}{{5x{y^3}}}\\ = \frac{{3{y^2}\left( {4x + 2} \right)}}{{45{x^3}{y^3}}} + \frac{{5x{y^2}\left( {5y - 3} \right)}}{{45{x^3}{y^3}}} + \frac{{9{x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{45{x^3}{y^3}}}\\ = \frac{{12x{y^2} + 6{y^2} + 25x{y^3} - 15x{y^2} + 9{x^3} + 9{x^2}}}{{45{x^3}{y^3}}} = \frac{{6{y^2} + 25x{y^3} - 3x{y^2} + 9{x^3} + 9{x^2}}}{{45{x^3}{y^3}}}\\c.\frac{3}{{2x}} + \frac{{3x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{2{x^2} + 1}}{{4{x^2} - 2x}}\\ = \frac{{3(2x - 1)}}{{2x(2x - 1)}} + \frac{{2x(3x - 3)}}{{2x(2x - 1)}} + \frac{{2{x^2} + 1}}{{2x(2x - 1)}}\\ = \frac{{6x - 3 + 6{x^2} - 6x + 2{x^2} + 1}}{{2x(2x - 1)}} = \frac{{8{x^2} - 2}}{{2x(2x - 1)}}\\ = \frac{{2(4{x^2} - 1)}}{{2x(2x - 1)}} = \frac{{(2x + 1)(2x - 1)}}{{x(2x - 1)}} = \frac{{2x + 1}}{x}\\d.\frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\\= \frac{{{x^3} + 2x}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} + \frac{{2x(x + 1)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} + \frac{{{x^2} - x + 1}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}\\ = \frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} = \frac{{{{(x + 1)}^3}}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}\\ = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\end{array}\)