LUYỆN TẬP HÌNH VUÔNG

LUYỆN TẬP HÌNH VUÔNG

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

Lời giải:

Xét tứ giác AMDN, ta có: ∠(MAN) =  90^o (gt)

DM ⊥ AB (gt)

⇒∠(AMD) =  90^o

DN ⊥ AC (gt) ⇒∠(AND) =  90^o

Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật

(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông

Câu 2: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

Suy ra: EB = KC = PD = QA

* Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK (gt)

A = B = 90^o

QA = EB (chứng minh trên)

Suy ra: ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)

* Xét ΔBKEvà ΔCPK,ta có: BK = CP (gt)

B = C = 90^o

EB = KC (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)

* Xét ΔCPK và ΔDQP,ta có: CP = DQ (gt)

C = D = 90^o

DP = CK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔCPK = ΔDQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ

Hay tứ giác EKPQ là hình thoi.

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE

⇒ ∠(AQE) = ∠(BKE)

Mà ∠(AQE) + ∠(AEQ) = 90^o

⇒ ∠(BEK) + ∠(AEQ) = 90^o

⇒ ∠(BEk) + ∠(QEK) + ∠(AEQ ) = 180^o

Suy ra: ∠(QEK) = 180o -(∠(BEK) + ∠(AEQ))= 180^o - 90^o = 90^o

Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.

Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K.

a, Tứ giác AHIK là hình gì?

b, Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi

c, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

Lời giải:

a, Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AH

Lại có: IH // AB (gt) hay IH // AK

Vậy tứ giác AHIK là hình bình hành.

b, Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác (A.)

Ngược lại AI là phân giác của ∠A. Hình bình hành AHIK có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.

Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của ∠A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.

c, Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật

⇒ ∠A = 90^o suy ra ΔABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có ∠A = 90^o

Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhật

Vậy nếu ΔABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

Câu 4: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.

Lời giải:

* Xét tứ giác APQD, ta có: AB // CD (gt) hay AP // QD

AP = AB (gt)

QD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AP = QD

Hay tứ giác APQD là hình bình hành.

Lại có: ∠A = 90^o

Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.

Mà AD = AP = 1/2 AB

Vậy tứ giác APQD là hình vuông.

⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vuông) ⇒ ∠(PHQ) = 90^o (1)

HP = HQ (t/chất hình vuông)

* Xét tứ giác PBCQ, ta có: PB // CD

PB = 1/2 AB (gt)

CQ = 1/2 CD (gt)

Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

∠B = 90^o suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật

PB = BC (vì cùng bằng AD = 1/2 AB)

Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông

⇒ PC ⊥ BC (t/chat hình vuông) ⇒ ∠(PKQ) = 90^o (2)

PD là tia phân giác ∠(APQ) ( t/chất hình vuông)

PC là tia phân giác ∠(QPB) (t/chất hình vuông)

Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất hai góc kề bù) ⇒ ∠(HPK) = 90^o (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = BG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠B = ∠C = 45^o

Vì ΔBHE vuông tại H có ∠B = 45^o nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có ∠C = 45^o nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = BG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau);

Lại có ∠(EHG) = 90^o nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF.

Lời giải:

Xét ΔABF và ΔDAE,ta có: AB = DA (gt)

∠(BAF) = ∠(ADE) = 90^o

AF = DE (gt)

Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c)

⇒ BF = AE và ∠B1= ∠A1

Gọi H là giao điểm của AE và BF.

Ta có: ∠(BAF) = ∠A1+ ∠A2 = 90^o

Suy ra: ∠B1+ ∠A2 = 90^o

Trong ΔABH,ta có: ∠(AHB) + ∠B1+ ∠A2 = 180^o

⇒ (∠(AHB)) = 180^o – (∠B1+ ∠A2) = 180^o – 90^o = 90^o

Vậy AE ⊥ BF