LUYỆN TẬP HÌNH THOI

LUYỆN TẬP HÌNH THOI

Câu 1: Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi.

Lời giải:

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.

Kẻ đường chéo AC.

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔADC, ta có: H là trung điểm của AD

G là trung điểm của DC

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Xét ΔAEH và ΔDGH, ta có: AH = HD (gt)

AEH và DGH = 90^o

AE = DG (vì AB = CD)

Suy ra: ΔAEH = ΔDGH (c.g.c) ⇒ HE = HG

Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (có 2 cạnh kề bằng nhau).

Câu 2: Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

* Trong ΔABC, ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)

* Trong ΔADC, ta có: H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

Nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ΔABD ta có EH là đường trung bình

⇒ BH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: EH ⊥ EF hay ∠(FEH) = 1v

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Câu 3: Chứng minh rằng trong hình thoi:

a, Giao điểm của hai đường thẳng chéo là tâm đối xứng của hình thoi.

b, Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi.

Lời giải:

a, Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo của nó.

b, * Ta có: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

OB = OD (tính chất hình thoi)

Nên AC là đường trung trực của BD.

Do đó điểm đối xứng với điểm B qua AC là D;

Điểm đối xứng với điểm A qua AC là điểm A;

Điểm đối xứng với điểm C qua AC là điểm C

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua AC cũng thuộc hình thoi

Do đó AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

* Ta có : OC = OA (tính chất hình thoi)

Nên BD là đường trung trực của AC

Do đó điểm đối xứng với điểm A qua BD là điểm C

Điểm đối xứng với điểm B qua BD là điểm B

Điểm đối xứng với điểm D qua BD là điểm D

Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua BD cũng thuộc hình thoi.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Câu 4: Tứ giác ABCD có tọa độ các đỉnh như sau A(0;2); B(3; 0); C(0;-2) ; D(-3;0).Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Ta có: A(0;2) và C(0;-2) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OA = OC

B(3;0) và D(-3; 0) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OB = OD

Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: Ox ⊥ Oy hay AC ⊥ BD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thoi

Trong ΔOAB vuông tại O, theo định lý Pi-ta-go ta có:

AB² = OA² + OB²

AB² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13

AB = √13

Vậy chu vi của hình thoi bằng 4√13

Câu 5: a, Cho hình thoi ABCD, kẻ đường cao AH, AK. Chứng minh rằng AH =AK.

b, Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi

Lời giải:

a, Xét hai tam giác vuông AHB và AKD, ta có:

∠(AHB) =∠(AKD) = 90o

AB = AD (gt)

∠B = ∠D (tính chất hình thoi)

Suy ra: ΔAHB = ΔAKD (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AH = AK

b, Xét hai tam giác vuông AHC và AKG, ta có:

∠(AHC) = ∠(AKC) = 90o

AH = AK (gt)

AC cạnh huyền chung

Suy ra: ΔAHC = ΔAKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ ∠(ACH) = ∠(ACK) hay ∠(ACB) = ∠(ACD)

⇒ CA là tia phân giác ∠(BCD)

Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là đường phân giác nên là hình thoi.

Câu 6: Hình thoi ABCD có ∠A = 60o. Kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông BEA và BFC, ta có:

∠(BEA) = ∠(BFC) = 90^o

∠A = ∠O (tính chất hình thoi)

BA = BC (gt)

Suy ra: ΔBEA = ΔBFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Do đó, ta có:

* BE = BF ⇒ ΔBEF cân tại B

* ∠B1 = ∠B2

Trong tam giác vuông BEA, ta có:

∠A + ∠B1= 90^o ⇒ ∠B1= 90^o – A = 90^o – 60^o = 30^o

⇒ ∠B2= ∠B1 = 30^o

∠A + ∠(ABC) = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ ∠(ABC) = 180^o – ∠A = 180^o – 60^o = 120^o

⇒ ∠(ABC) = ∠B1+ ∠B2+ ∠B3

⇒ ∠B3 = ∠(ABC) – (∠B1 + ∠B2) = 120^o - (30^o + 30^o) = 60^o

Vậy ΔBEF đều.

Câu 7: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân Các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: AB // CD (gt)

OE ⊥ AB (gt)

⇒ OE ⊥CD

OG ⊥CD(gt)

Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.

BC // AD (gt)

OF ⊥ BC (gt)

⇒ OF ⊥ AD

OH ⊥ AD (gt)

Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.

Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:

OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)

OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)

OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.

Câu 8: Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH = 2cm. Tính các góc của hình thoi, biết ∠A > ∠B

Lời giải:

Chu vi hình thoi bằng 16(cm) nên độ dài một cạnh bằng:

16 : 4 = 4(cm)

Gọi M là trung điểm của AD.

*Trong tam giác vuông AHD ta có HM là trung tuyến thuộc cạnh huyền, suy ra: HM = AM = 1/2 AD = 1/2 . 4 = 2(cm)

⇒ AM = HM = AM = 2cm

⇒ Δ AHM đều

⇒ ∠(HAM) = 60^o

*Trong tam giác vuông AHD, ta có:

∠(HAD) + ∠D = 90^o

⇒ ∠D = 90^o- ∠(HAD) = 90o – 60^o = 30^o

⇒ ∠B = ∠D = 30^o ( t/chất hình thoi)

∠B + ∠C = 180^o (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒∠C = 180^o - ∠B = 180^o – 30^o = 150^o

⇒ ∠A = ∠C = 150^o (tính chất hình thoi).

Câu 9: Hình thoi ABCD có góc A = 60^o. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên canh CD lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Nối BD, ta có AB = AD (gt)

Suy ra Δ ABD cân tại A

Mà ∠A = 60o ⇒ ΔABD đều

⇒ ∠(ABD) = ∠D = 60^o và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒Δ CBD đều ⇒ ∠D2= 60^o

Xét ΔBAM và ΔBDN,ta có:

AB = BD (chứng minh trên)

∠A = ∠D2 = 60^o

AM = DN

Do đó ΔBAM = ΔBDN (c.g.c) ⇒ ∠B1= ∠B3 và BM = BN

Suy ra ΔBMN cân tại B.

Mà ∠B2+∠B1 = ∠(ABD) = 60^o

Suy ra: ∠B2+ ∠B3 = ∠(MBN) = 60^o

Vậy ΔBMN đều

Câu 10: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M,N,I,K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.

Lời giải:

*Trong ΔBCD, ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

Nên NK là đường trung bình của ΔBCD

⇒ NK // BD và NK = 1/2 BD (1)

*Trong ΔBED, ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

Nên MI là đường trung bình của ΔBED

⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD (t/chất đường trung bình trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

Nên tứ giác MKNI là hình bình hành.

*Trong ΔBEC ta có MK là đường trung bình.

⇒ MK = 1/2 CE (t/chất đường trung bình của tam giác)

BD = CE (gt). Suy ra: MK = KN

Vậy hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒IK ⊥ MN (t/chất hình thoi).