Luyện tập biến đổi các biểu thức hữu tỷ. Giá trị của phân thức đại số (có đáp án)

  LUYỆN TẬP BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỶ.

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Biểu thức hữu tỉ

– Một đa thức được gọi là một biểu thức nguyên

– Một biểu thức chỉ chứa các phép toán cộng, trừ, nhân , chia và chứa biến ở mẫu được gọi là biểu thức phân thức.

Các biểu thức nguyên và biểu thức phân được gọi chung là biểu thức hữu tỉ.

2. Giá trị của biểu phân thức

Giá trị của biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu biểu thức khác 0

II. BÀI TẬP

Bài 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}}\\b.\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = (1 + \frac{1}{x}):(1 - \frac{1}{x})\\ = \frac{{x + 1}}{x}:\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{x + 1}}{x}.\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\b.\frac{{1 - \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}}}} = (1 - \frac{2}{{x + 1}}):(1 - \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}})\\ = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1 - ({x^2} - 2)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\frac{{(x - 1)(x + 1)}}{1} = {(x - 1)^2}\end{array}\)

Bài 2. Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

\(\begin{array}{l}a.\frac{{5x}}{{2x + 4}}\\b.\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)

Giải:

a) Giá trị của phân thức được xác định với điều kiện 2x + 4 ≠ 0.

Suy ra 2x ≠ -4 hay x ≠ -2

Vậy điều kiện để phân thức xác định là x ≠ -2.

b) Điều kiện để phân thức được xác định là x² - 1 ≠ 0 hay (x – 1)(x + 1) ≠ 0

Do đó x – 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ -1.

Vậy điều kiện để phân thức xác định là x ≠ ±1.

 Bài 3. Cho phân thức \(\frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}\)

a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

b) Rút gọn phân thức?

c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

d) Có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không?

Giải:

a) Điều kiện của x để phân thức được xác định là: x + 2 ≠ 0 hay x ≠ -2

b) Rút gọn phân thức:

 \(\frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} = x + 2\)

c) Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 1 thì x + 2 = 1.

Do đó x = -1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện của x.

d) Nếu giá trị của phân thức đã cho bằng 0 thì x + 2 = 0 => x = -2.

Giá trị này không thỏa mãn với điều kiện của x (x ≠-2). Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức đã cho có giá trị bằng 0.

Bài 4: Đố. Đố em tìm được một phân thức ( của một biến x) mà giá trị của nó tìm được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2:

Giải:

Các ước của 2 là ±1, ±2.

(x+ 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) ≠0 khi x ≠ ±1, x ≠ ±2

Vậy có thể chọn phân thức \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}}\)

Bài 5. Thực hiện các phép tính:

\(\begin{array}{l}a)\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\\b)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right)\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\left( {\frac{x}{{x + 1}} + 1} \right):\left( {1 - \frac{{3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} \right)\\ = \frac{{x + x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - {x^2} - 3{x^2}}}{{1 - {x^2}}}\\= \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{1 - 4{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - 4{x^2}}}\\ = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{1 - 2x}}\\b)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} - 1} \right)\\= \left( {{x^2} - 1} \right).\left( {\frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {{x^2} - 1} \right).\frac{{x + 1 - x + 1 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \left( {{x^2} - 1} \right).\frac{{3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3 - {x^2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 3 - {x^2}\end{array}\)

Bài 6. Làm các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{y}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}} \right);\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right)\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{y}{x}} \right):\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}} \right)\\ = \frac{{{x^2}.x + y.{y^2}}}{{x{y^2}}}:\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{x{y^2}}}\\ = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x{y^2}}}:\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{x{y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x{y^2}}}.\frac{{x{y^2}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)x{y^2}}}{{x{y^2}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} = x + y\\b.\left( {\frac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right)\\ = \left( {\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right):\frac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 4x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x{{(x + 2)}^2}{{(x - 2)}^2}}}\\= \frac{{ - 8x}}{{2x(x + 2)(x - 2)}} = \frac{4}{{(x + 2)(x - 2)}}\end{array}\)

Bài 7. Chứng tỏ rằng với x≠ 0 và x ≠ ± a( a là một số nguyên), giá trị của biểu thức \(\left( {a - \frac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\frac{{2a}}{x} - \frac{{4a}}{{x - a}}} \right)\) là một số chẵn.

Giải:  Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định là: \(x \ne 0,x \ne  \pm a\) (a là một số nguyên)

\(\begin{array}{l}\left( {a - \frac{{{x^2} + {a^2}}}{{x + a}}} \right).\left( {\frac{{2a}}{x} - \frac{{4a}}{{x - a}}} \right)\\ = \frac{{ax + {a^2} - {x^2} - {a^2}}}{{x + a}}.\frac{{2ax - 2{a^2} - 4ax}}{{x\left( {x - a} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {a - x} \right)2a\left( { - a - x} \right)}}{{x\left( {a + a} \right)\left( {x - a} \right)}} = 2a\end{array}\)

Vì a là số nguyên nên 2a là số chẵn. Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số chẵn.

Bài 8. a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số: \(1 + \frac{1}{x};1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}};1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}\)

b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biển đổi biểu thức \(1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}}}}\) thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.

Giải:

a)

\(\begin{array}{l}1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{{x + 1}}{x}\\1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{x}}} = 1 + \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 + x}}{{1 + x}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\\1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}}} = 1 + \frac{{x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{{2x + 1 + x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{{3x + 2}}{{2x + 1}}\end{array}\)

b) Đối với các biểu thức có dạng đã cho có thể dự đoán như sau:

Qua các kết quả của các phần ở câu a) ta thấy kết quả tiếp theo sau là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả vế trước đó.

Như vậy có thể dự đoán rằng:

Nếu biểu thức có 4 gạch phân số thì kết quả là \(\frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\), và trong trường hợp này có 5 gạch phân số, kết quả sẽ là \(\frac{{8x + 5}}{{5x + 3}}\)

Kiểm tra lại:

\(\begin{array}{l}1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{3x + 2}}{{2x + 1}}}} = 1 + \frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2 + 2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}\\ \Rightarrow 1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}}}}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{5x + 3}}{{3x + 2}}}}1 + \frac{{3x + 2}}{{5x + 3}} = \frac{{5x + 3 + 3x + 2}}{{5x + 3}} = \frac{{8x + 5}}{{5x + 3}}\end{array}\)

 Bài 9. Tìm các giá trị của x để giá trị của các phân thức sau xác định:

\(\begin{array}{l}a,\frac{{3x + 2}}{{2{x^2} - 6x}}\\b,\frac{5}{{{x^2} - 3}}\end{array}\)

Giải:

a) Giá trị phân thức a) được xác định khi 2x² -6x ≠ 0 ⇒ 2x(x-3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 3

b) Giá trị phân thức b) được xác định khi: x² -3 ≠ 0

⇒  (x – √3)(x + √3) ≠ 0 ⇒  x ≠ √3 và x ≠ -√3

Bài 10. Cho phân thức: \(\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}}\)

a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là (x+1)/(x-1)
c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x=2 và x = -1, bạn Thắng đã là như sau:
– Với x = 2, phân thức đã cho có giá trị (2+1)/(2-1) = 3
– Với x = -1. phân thức đã cho có giá trị là: (-1+1)/(-1-1) = 0
Em có đồng ý không? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.
Theo em, với những giá trị nào của biển thì có thể tính được giá trí của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn?

Giải:

a) Giá trị của phân thức được xác định khí x² -1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1
b) Ta có: \(\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

c) Bạn sai khi x = -1 thì không thoả mãn điều kiện của x. Với các giá trị x ≠ ±1 thì có thể tính được giá trị của biểu thức.

Bài 11. Cho Phân thức \(\frac{{3{x^2} + 6x + 12}}{{{x^3} - 8}}\)
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b) Rút gọn phân thức
c) Em có biết trên 1cm² bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại x = 4001/2000 em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại).

Giải:

a) Giá trị của phân thức được xác định khi: x³ – 8 ≠ 0 ⇒(x-2)(x²+2x+4) ≠ 0 ⇒ x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠2

b) \(\frac{{3{x^2} + 6x + 12}}{{{x^3} - 8}} = \frac{{3\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} = \frac{3}{{x - 2}}\)

c) Với x = 4001/2000 ≠ 2 nên phân thức được xác định và giá trị của phân thức là

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{\frac{{4001}}{{2000}} - 2}} = \frac{3}{{\frac{{4001 - 2.2000}}{{2000}}}} = \frac{{3.2000}}{{4001 - 2.2000}}\\ = \frac{{6000}}{{4001 - 4000}} = 6000\end{array}\)