Hình thoi và hình vuông

HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

• Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau (h.36).

• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau (h.37).

Từ đó suy ra :

• Hình thoi cũng là một hình bình hành.
• Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

2. Tính chất

a) Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành, ngoài ra còn có :

-        Hai đường chéo vuông góc với nhau.

-        Hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi.

b) Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Nhận biết hình thoi

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

b) Nhận biết hình vuông

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
• Hình chữ rihật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
• Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. 

4. Bổ sung

a) Trong hình thoi:

• Hai đường chéo là hai trục đối xứng.
• Giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng.

b) Đường chéo của hình vuông cạnh a là \({\rm{a}}\sqrt {\rm{2}} \).

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 16. Cho hình thoi ABCD có \(\widehat {\rm{A}}{\rm{  =  6}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\)

Trên các cạnh AB, BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM + BN bằng độ dài cạnh của hình thoi. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải (h.38)

     Từ đề bài suy ra \(\Delta \)ABD và \(\Delta \)CBD đều ;

     AD = BD, AM = BN, \(\widehat {{\rm{CBD}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{BDA}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{BAD}}}{\rm{  =  60^\circ }}{\rm{.}}\)                 

     Suy ra \(\Delta \)MAD = \(\Delta \)NBD (c.g.c) => DM = DN và \(\widehat {{\rm{MDA}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NDB}}}{\rm{.}}\)

     Vậy \(\Delta \)MDN có MD = ND, \(\widehat {{\rm{MDN}}}{\rm{  =  60^\circ }}\) nên \(\Delta \)MDN đều.

     Suy ra đuờng trung trực của đoạivthẳng MN luôn đi qua điểm D cố định

Ví dụ 17. Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD với AB = 1, ta lấy các điểm M, N tương ứng sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2.

a) Chứng minh \(\widehat {{\rm{MAN}}}{\rm{  =  45^\circ }}{\rm{.}}\)

b) Gọi P và Q là giao điểm của đường chéo BD với các đoạn thẳng AM và AN. Chứng minh rằng các đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông.

Giải (h.39)

     a) Trên cạnh DC kéo dài về phía D lấy điểm K sao cho DK = BM

     Ta có :

     MN + MC + CN = MB + MC + CN + DN (= 2)

     ó MN = BM + DN

     hay MN = DK + DN = KN   (1)

     Mặt khác \(\Delta \)ADK = \(\Delta \)ABM (c.g.c)

     => AM = AK                         (2)

     Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta \)KAN = \(\Delta \)MAN (c.c.c) 

     b) \(\Delta \)AKN = \(\Delta \)AMN => AKN = AMN = AMB; ANK = ANM. Kẻ AH \( \bot \)MN.

     Dễ có \(\Delta \)AHM = \(\Delta \)ABM  => HM = BM, AH = AB.

     Suy ra AM là trung trực của đoạn HB từ đó PH = PB, \(\Delta \)APH = \(\Delta \)APB => \(\widehat {{\rm{AHP}}}\) = \(\widehat {{\rm{ABP}}}{\rm{  =  45^\circ }}{\rm{.}}\)

     Chứng minh tương tự : QH = QD, \(\widehat {{\rm{AHQ}}}{\rm{  =  45^\circ }}{\rm{.}}\) Vậy \(\widehat {{\rm{QHP}}}{\rm{  =  90^\circ }}\).

     Suy ra \({\rm{Q}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  H}}{{\rm{Q}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  H}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  D}}{{\rm{Q}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  B}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}\) hay các đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông.

Nhận xét

• Ta có thể giải được câu sau : Chứng minh rằng khi M thay đổi thì MN luôn cách điểm A một khoảng cách không đổi.
• Ta cũng có thể thay giả thiết "chu vi tam giác MCN bằng 2" bằng " \(\widehat {{\rm{MAN}}}{\rm{  =  45^\circ }}\)" và kết luận câu a là : Chứng minh chu vi tam giác MCN bằng 2.

Ví dụ 18. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh BC, tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Qua A vẽ đường .thẳng d vuông góc với AM cắt đường thẳng CB, CD lần lượt tại p và Q

a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân.

b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I; K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN. Hoi tứ giác AIRK là hình gì ?

c) Chứng minh 4 điểm K, B, I, D thẳng hàng.

Giải (h.40)

a) \(\Delta \)ADQ = \(\Delta \)ABM => AQ = AM => \(\Delta \)AMQ vuông

\(\Delta \)ABP = \(\Delta \)ADN => AN = AP => \(\Delta \)ANP vuông cân.

b) \(\Delta \)AMQ vuông cân, IM = IQ => AI là đường trung tuyến

=> AI là đường cao => AI\( \bot \)RQ hay \(\widehat {{\rm{AIR}}}{\rm{  =  90^\circ }}\)      (1)

- Tương tự ta có AKR = 90°                                     (2)

- \(\Delta \)PQN có NA, PC là các đường cao nên M là trực tâm, suy ra QR\( \bot \)NP hay \(\widehat {{\rm{IRK}}}{\rm{  =  90^\circ }}\)                                                                   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AKRI là hình chữ nhật.

a) Ta có AK = CK (=\(\frac{1}{2}\)PN); AI = CI (=\(\frac{1}{2}\)QM); AD = CD; AB = CB

=> K ; B ; I; D cùng thuộc đường trung trực của AC. Vậy K, B, I, D thẳng hàng. 

C. BÀI TẬP

1. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cặnh AC của tam giác lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi Q là trung điểm của AC, N là trung điểm của BD. Vẽ đường phân giác AK của góc BAC. Chứng minh AK\( \bot \)NQ.

2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.

3. Cho tam giác đều ABC có AD là đường cao, H là trực tâm. Từ một điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ ME, MP theo thứ tự vuông góc với AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh rằng :

a) DEIP là hình thoi;

b) Ba đường thẳng MH, ID, EP đồng quy.

4. Cho hình thoi ABCD. Kẻ BM\( \bot \)AD và BN\( \bot \)CD. Biết rằng MN = \(\frac{1}{2}\)BD. Tính số đo các góc của hình thoi.

5. Trên canh AB và CD của hình thoi ABCD lấy các điểm P và Q sao cho

AP = \(\frac{1}{3}\)AB, và CQ = \(\frac{1}{3}\)CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD, K là giao điểm của DP và BI. Chứng minh rằng :

a) \(\Delta \)BID vuông ;                                    b) BK = IK.

6. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Gọi I, F là giao điểm của ED với AC và BC, gọi G và H thứ tự là giao điểm của OE và BC, OF và CE. Chứng minh rằng : A, G, H thẳng hàng.

7. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. Gọi M là giao điểm AI và CD. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác MENF là hình thoi.

b) Chu vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.

8. Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ABE đều. Gọi F là giao điểm của AE và BD. O là giao điểm của DE và FC. Chứng minh OC = OF.

9. Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu ( + ) hoặc (-). Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành một tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu.

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương,

 năm học 2010-2011)

10. Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông. Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{MBC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{MCD}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{MDA}}}\).