CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO – PHẦN II

Cập nhật lúc: 14:42 04-11-2018 Mục tin: LỚP 8


Bài viết là chuyên đề nâng cao, gồm các dạng bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, gồm cả lý thuyết và bài tập, giúp các em ôn tập lại kiến thức cũng như nâng cao được khả năng của mình

CHUYÊN ĐỀ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

– PHẦN II

I/ LÍ THUYẾT:

1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử)

2/ Phương pháp tách hạng tử:

a/ Phân tích đa thức ax2 + bx + c ta tách bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac.

                    + Tìm tích ac

                    +Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ

                    + Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac.

Ví dụ: Phân tích 3x2 – 8x + 4  có a = 3; b = -8; c = 4

ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8)

Nên: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 + bx + c = (x + b1)(x + b2) với b1 +  b2 = b và b1.b2 = c

b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x  + 1)

c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a.

          + Nghiệm nguyên của đa thức  nếu có phải là ước của hạng  tử  tự  do (hạng tử không chứa x)

          + Trường hợp đặc biệt nếu  f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + ax + a

* có tổng các hệ số: an + an-n + … + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x)

                    * Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x).

Ví dụ: 4x3 – 13x2 + 9x – 18

Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau:

4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)

                              = (x – 3)(4x2 – x + 6)

3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng:

a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: x4 + 81 =  (2x2)2 + 92 + 36x2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x +9)(2x2 + 6x + 9)

b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung:

Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1

= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 + 1)(x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x(x3 + 1)(x – 1) + 1]

= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)

* Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luôn chứa thừa số x2 + x + 1

4/ Phương pháp đổi biến:

Ví dụ: Phân tích:

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

          Đặt y = x2 +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành :

(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = (y – 4)(y + 4)

 = (x2 +10x + 12 – 4)( x2 +10x + 12 + 4) = (x2 +10x + 8)( x2 +10x + 16)

= (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8)

5/ Phương pháp hệ số bất định:

Sử dụng khi không tìm được nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ

Ví dụ: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3     (1)

 Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì 2 nhân tử phải là bậc 2 và có dạng:

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: \(\begin{array}{l}\\\end{array}\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - 6}\\{ac + b + d = 12}\\{ad + bd =  - 14}\\{bd = 3}\end{array}} \right.\)

Xét bd = 3 với b,d \( \in \) Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - 6}\\{ac = 8}\\{a + 3c =  - 14}\end{array}} \right.\)

=> 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2.

Vậy đa thức đã cho là: (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)

 

II/ BÀI TẬP:

Phân tích thành nhân tử:

1/

a/ a3 + 4a2 – 7a – 10                  

b/ x3 – 6x2 + 11x – 6                           

c/ x3 + x2 – x + 2

d/ x3 + 5x2 + 8x + 4                            

e/ x3 – 9x2 + 6x + 16                           

f/ x4 – 4x2 – 5

2/

a/ 6x2 – 11x + 3                        

b/ 2x2 – 5xy – 3y2                     

c/ 2x2 + 3x – 27

d/ 2x2 – 5xy + 3y2                     

e/ x3 + 2x – 3                                      

f/ x3 – 7x + 6

g/ x2 + 8x – 20                          

h/ x3 – x2 – 4

3/

a/ x2 + 7x + 12                          

b/ x2 + 13x + 36                        

c/ x2 – 8x + 15

d/ t2 – 9x + 20                                     

e/ x2 + 9x + 8                                      

f/ y2 + 11y + 28

g/ b2 + 5b + 4                                      

h/ 2t + 99 – t2                                      

i/ m2 – 2m – 15

4/

a/ 3x2 – 10x – 8                         

b/ 2x2 – 7x – 4                          

c/ 3x2 – x – 4

d/ 5x2 + x – 18                          

e/ 3x2 – 4x – 15                        

f/ 6x2 + 23x + 7

5/

a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2                    

b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1

c/ (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 – 10                                     

d/ (2x2 + 3x – 1) – 5(2x2 + 3x + 3) + 24

e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15                                      

f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12

g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12                                   

h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24

6/

a/ a3 + 9a2 + 11a – 21                

b/ x3 – 6x2 – x + 30                             

c/ 9x3 – 15x2 – 32x -12

d/ x4 + 2x3 – 16x2  - 2x + 15                         

e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x  - 5                             

7/

a/ 4x4 – 5x2 + 1               

b/ a4 + 4                

c/ a4 + a2 + 1                   

d/ a8 + a4 + 1

e/ x5 + x4 + 1                             

f/ x4 + 2x3 + 1                           

g/ x7 + x5 + 1                            

h/ 2x4 – x2 -1

 

8/

a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc                          

b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc

c/ (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3                                     

d/ x(x2 –z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3                                               

f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2      

9/ CMR: A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên dương.

10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c)

12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c)

13/ Cho đa thức P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6

          a/ Phân tích P(x) thành nhân tử

          b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x \( \in \) Z

14/ Cho đa thức P(x) = x4 – 3x3 + 5x2  - 9x + 6

          a/ Trong trường hợp x là một số nguyên dương. CMR: P(x) \( \vdots \) 6

          b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0

15/ Cho a + b + c = 1 và a2 + b2 + c2 = 1

          a/ Nếu \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\); CMR xy + yz + zc = 0

          b/ Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c.

Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT

          b/ Ap dụng kết quả câu 8e

16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4(b – c) + b4(c –a) + c4(a –b) luôn khác 0

Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] nên khác 0

17/ Phân  tích thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

          CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0

Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0

 

 

 

 

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021