CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Các phương pháp cơ bản

a. Phương pháp

­- Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).

b. Ví dụ:

        15a²b² - 9a³b + 3a²b = 3a²b ( 5b - 3a - b² )

         2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

         x^{m + 3}  + x^m( x³ + 1) = x^m(x + 1) (x² - x + 1)

2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức

a. Phương pháp:

- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

b. Ví dụ:

      9x² - 4 = (3x)² - 2² = (3x-2)(3x+2)

      8 -27a³b⁶ = 2³ -  (3ab²)³ = (2-3ab²)(4+6ab²+9a²b⁴)

      25x⁴ - 10x²y+y² = (5x²-y)²

3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

 a. Phương pháp

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

b. Ví dụ:

        2x³ - 3x² + 2x - 3  = (2x³ + 2x) - (3x² + 3)

                                       = 2x(x² +1) - 3(x² +1)

                                       = (x² +1) (2x - 3)

         x² - 2xy + y² - 16  = (x -y )² - 4² = (x - y - 4) (x - y + 4)

4. Phối hợp nhiều phương pháp

a. Phương pháp: - Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên

                            + Đặt nhân tử chung.

                            + Dùng hằng đẳng thức.

                            + Nhóm nhiều hạng tử.

b. Ví dụ:

            3xy² - 12xy + 12x   =3x( y² - 4y + 4)

                                            =3x (y -2 )²

           3x³y - 6x²y - 3xy³ - 6axy² - 3a²xy +3xy

                                            =3xy(x² - 2x - y² - 2ay - a² + 1)

                                            =3xy  

                                            =3xy

                                            =3xy

                                            =3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a )

5. Phương pháp tách một hạng  tử thành hai hay nhiều hạng tử.

a. Phương pháp:

 Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.

b. Ví dụ:

Phân tích đa thức   x² - 6x + 8 thành nhân tử .

*  Cách 1:  x²- 6x + 8   = x² - 2x - 4x + 8

                                     = x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4)

* Cách 2: x² - 6x + 8   = x² - 6x + 9 - 1

                                     = ( x - 3)² - 1

                                     =( x -3 - 1)( x- 3 + 1)

                                     = (x - 4)(x -2)

* Cách 3: x² - 6x + 8   = x² - 4 - 6x + 12

                                     =(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)

* Cách 4: x² - 6x + 8   = x² - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4)

                                     =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2) 

* Cách 5: x² - 6x + 8   = x² - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)² - (x - 2)

                                     =( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2) 

Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau:

*Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.

áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax² + bx + c thành nhân tử ta làm như sau:

       - Tìm tích ac

       - Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

       -  Chọn hai thừa số có tổng bằng b

 Khi đó hạng tử  bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất.

Ví dụ:  4x² - 4x - 3

       - Tích ac là  4.(- 3) = - 12

       - Phân tích  -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4)

       - Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)

          4x² - 4x - 3 = 4x² + 2x - 6x - 3   =  2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1)

                                                                =(2x + 1)(2x - 3)

* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương.

  Ví dụ:     4x² - 4x - 3 = 4x² - 4x +1 - 4 =  ( 2x - 1)² - 2²

                                      = (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3)

                 3x² - 8x + 4  = 4x²- 8x + 4 - x² = (2x - 2 )² - x²

                                       = ( 2x - 2 - x)(2x -2  + x )  = (x - 2 )(3x -2)

6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

a. Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng

a²- b² sau khi thêm bớt .

b. Ví dụ:

                4x² + 81 = 4x⁴ + 36x² + 81 - 36x²

                               =( 2x² + 9)² - (6x)²

                              = (2x² + 9 - 6x)(2x² + 9 + 6x)

               x⁷ + x² +1= x⁷ - x + x² + x + 1 = x(x⁶ - 1) + (x²+ x + 1)

                              = x(x³ - 1)(x³ + 1) +(x² + x + 1)

                              = x(x³ +1)(x -1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

                              = (x² + x + 1)(x⁵ - x⁴ - x² + 1)

   II. Các phương pháp khác:

1. Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ )

a. Phương pháp:

      Đặt ẩn phụ đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.

b. Ví dụ:

 * Phân tích đa thức  6x⁴ - 11x² + 3thành nhân tử .

     đặt x² = y ta được 6y² - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)

    Vậy:    6x⁴ - 11x² + 3  = ( 3x² - 1 )(2x² - 3)

 * Phân tích đa thức  (x² + x)² + 3(x² + x) +2 thành nhân tử.

        đặt  x² + x = y ta được     y² + 4y + 2 = (y +1)(y+2)

Vậy: (x² + x)² + 3(x² + x) +2 = ( x² + x + 1)( x² + x +2)

2. Phương pháp hệ số bất định .

a. Phương pháp:

 Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx² + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.

b.Ví dụ: 

          Phân tích đa thức   x³ -  19x - 30 thành nhân tử.

 Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng

         x(x² + bx + c) = x + (a+b)x² + (ab + c)x +ac

 Vì  2 đa thức này đồng nhất nên:

                                a+ b   = 0

                                ab + c = -19

                                ac       =-30

Chọn a = 2, c = -15

Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên

 Vậy : x³ -  19x - 30 =(x + 2)(x²- 2x - 15)

3. Phương pháp xét giá trị riêng.

a. Phương pháp:

   Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.

b.Ví dụ

           P = x²(y - z) + y²(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy

      P = y² ( y- z) + y² (z - y) = 0 như vậy P chứa thừa số (x -y)

Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do  đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ). Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x).

   Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.

còn tích  (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z

   Vì đẳng thức  x²(y - z) + y²(z - c) + z(x - y)  = k(x - y)(y - z)(z - x).

đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến  x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn:   x = 2, y = 1, z = 0

ta được: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

  k =-1

 Vậy P = -  (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

c)Ngoài ra ta còn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trò như nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a .Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhưng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a.

  c₁)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử

F(a,b,c) = a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)

   - Khi a= b ta có F(a,b,c) = a²(a-c)+a²(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b).

   Tương tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) .Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a). Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

     1+1 = k.1.1.(-2) Þ k = -1

Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

  c₂)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử

                     F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz .

     - Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y²z + y²z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y

Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có       F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).

4. Phương  pháp tìm nghiệm của đa thức:

a. Phương pháp:

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Ví dụ:  x³ + 3x - 4

 Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x² + bx + c)

  -ac = - 4     a là ước của  - 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức  đa thức chứa nhân tử ( x - 1). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1).

     *Cách 1: x³ + 3x - 4         = x³ - x² + 4x² -  4  = x² (x -1) + 4(x -1)(x +1)

                                              = (x - 1)(x² + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)²

     *Cách 2: x³ + 3x - 4         =x³ - 1 + 3x² - 3  = (x³- 1) + 3(x² - 1)

                                              = ( x - 1)(x² + x +1 +3(x²⁺ - 1)

                                              = ( x - 1)(x + 2)²

Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1)

-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1).

 Ví dụ:

* Đa thức: x² - 5x + 8x -  4  có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)

*Đa thức: 5x³ - 5x² + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3

 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức  chứa thừa số ( x + 1).

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng  trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.

Ví dụ:      2x³ - 5x² + 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, (), , (),()           (- 3),.....Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1)

     2x³ - 5x² + 8x - 3   = 2x³- x² - 4x² + 2x + 6x - 3

                                = x²(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

                                = (2x - 1)(x² - 2x + 3)

5. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai

a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax² + bx + c

    Nếu b² - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết.

    Nếu b²  - 4ac  không là bình phương của  số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa.

b. Ví dụ:       2x² - 7x + 3

             a =2, b = -7, c = 3.

            xét  b²  - 4ac  = 49 - 4.2.3 = 25 = 5²

phân tích được thành nhân tử :  2x² - 7x + 3 = (x - 3)(2x -1)

hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phương đủ

     2x² - 7x + 3 = 2(x²- x +)

                = 2 (x² - 2.x + )

                 = 2  = 2  = 2(x-3)(x-)

 Chú ý: P(x) = x² + bx = c có hai nghiệm x₁, x₂ thì:

                        P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

  Phần 2: Giải các bài toán phân tích đa thức

1. Bài toán rút gọn biểu thức.

  a. Ví dụ: Cho

   \(A = \frac{{2 - x}}{{x + 3}} - \frac{{3 - x}}{{x + 2}} + \frac{{2 - x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\)

   a₁). Rút gọn A

   a₂). Tính giá trị của  A với x = 998

   a₃).Tìm giá trị của x để A > 1

   b. Đường lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu.

  Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích  đa thức  thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển  trí thông minh.

b. Ví dụ 2: (Các bài toán tương tự )Rút gọn biểu thức :

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^4} + {x^3} + x + 1}}{{{x^4} - {x^3} + 2{x^2} - x + 1}}\\B = \frac{{{a^2}(b - c) + {b^2}(c - a) + {c^2}(a - b)}}{{a{b^2} - a{c^2} - {b^3} + b{c^2}}}\\C = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{{(x - y)}^2} + {{(y - z)}^2} + {{(z - x)}^2}}}\end{array}\)

 Đường lối giải  :Để rút gọn các phân thức trên:

  - Bước 1: ta phải phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử

  - Bước 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

2.Bài toán giải phương trình:

a.Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích. A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0

b. Ví dụ: Giải phương trình

                  (4x + 3)² - 25 = 0

 Giải:  áp dụng phương  pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử  đưa phương trình về dạng.

            8(2x - 1)(x +2) = 0  x =   hoặc x = -2

3. Bài toán giải bất phương trình

a. Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay bất phương trình thường.

b. Ví dụ:  Giải các bất phương trình

b₁)                     

   \(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x - 3}} > 1\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{(x - 2)(x - 3)}} > 0\end{array}\)                        

  Nhận xét: vì  (- 2) < 0 => (x- 2)(x - 3) < 0 =>  2 < x< 3

b₂)        3x² - 10x - 8 > 0

             => (3x+ 2)( x- 4) > 0

 Ta lập bảng xét dấu tích. Kết quả  x <  hoặc  x > 4 .

4. Bài toán chứng minh về chia hết .

a . Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết .

b .Ví dụ:

       b₁)  Chứng minh rằng  \(\forall x \in Z\) ta có biểu thức

                              P = (4x+3)² - 25 chia hết cho 8.

               Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho  8

       b₂) Chứng minh rằng biểu thức :

                    \(\frac{n}{3} + \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{{{n^3}}}{6}\) là số nguyên \(\forall n \in Z\)

         Biến đổi biểu thức về dạng \(\frac{{2n + 3{n^2} + {n^3}}}{6}\) và chứng minh (2n+3n²+n³) chia hết cho 6 .

  Ta có 2n+3n²+n³ = n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp,vì vậy có ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho 3 mà (2;3)=1 nên tích này chia hết cho 6.Vậy \(\forall n \in Z\) thì \(\frac{n}{3} + \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{{{n^3}}}{6}\) là số nguyên.

5. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức

   A² + m , A² - m ,A²+B² . . .(m  là hằng số) rồi nhận xét để đi đến kết quả cuối cùng.

b. Ví dụ 1 :Chứng tỏ x²+x+1 > 0 x

          Ta viết : x²+x+1 = x²+2.x+ = (x+)² +  ≥ >0 x.

   Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức

                  A(x,y) = 2005 + x² + 15 y² + xy  + 8x + y

                  (Tương tự :B = x²+y²+xy - x- y )

      Ta có : A(x,y) = 2005 + x² + 15 y² + xy  + 8x + y

                              = (x²+y²+16+xy+8x+4y) + (y²- 3y) + 2005 -16

                              =(x+y+4)²+( y² - 2.y+)+1989-

                              =  (x+y+4)²+(y-)²+≥

 Vì (x+y+4)²≥ 0 , (y-)² ≥ 0.Dấu " =" xảy ra

        Û   . Vậy A(x,y) đạt GTNN là

Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự