Chuyên đề: Chia đa thức

CHUYÊN ĐỀ  - CHIA ĐA THỨC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. 1.     Chia đơn thức cho đơn thức.

1. 2.     Chia đa thức cho đơn thức.

 3. Định lý Bezout : Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất

     x - a là f(a)

     Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x - a khi và chỉ khi

     f(a) = 0

 B. BÀI TẬP

DẠNG 1 : CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.

a)     10x³y²z : (-4xy²z)                   f) (-xy⁵z) : (-xy⁴)

b)    x²y³z⁴ : y²z                       g) x³y⁴ : x³y         

c)     25x⁴y⁵z³ : (-3xy²z)                 h) 18x²y²z: 6xyz

d)    5x³y²z : (-2xyz)                      k) 27x⁴y²z : 9x⁴y

e)     (-12x⁵y⁴) : (-4x²y)                  m) 5x³y: xy

DẠNG 2 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.

a) (4x⁵ - 8x³) : (-2x³)

b) (9x³ - 12x² + 3x) : (-3x)

c) (xy² + 4x²y³ - 3x³y⁴) : (-2xy²)

d) (-3x²y³ + 4x³y⁴ - y⁴y⁵) : (-x²y³)

e) [2(x - y)³ - 7(y - x)² - (y - x)] : (x - y)

f) [3(x - y)⁵ - 2(x - y)⁴ + 3(x - y)²] : [5(x - y)²]

 DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC

 Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.

a) (2x³ - 5x² - x + 1) : (2x + 1)

b) (x³ - 2x + 4) : (x + 2)

c) (6x³ - 19x² + 23x - 12) : (2x - 3)

d) (x⁴ - 2x³ - 1 + 2x) : (x² - 1)

e) (6x³ - 5x² + 4x - 1) : (2x² - x + 1)

f) (x⁴ - 5x² + 4) : (x² - 3x + 2)

g) ( x³ – 2x² – 5x + 6 ) : ( x + 2 )

h) ( x³ – 2x² + 5x + 8) : ( x + 1 )

 DẠNG 4 : TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC

Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.

    a) A = x⁴ + 3x³ + 2x² - x - 4 và B = x² - 2x + 3

b) A = 2x³ - 3x² + 6x - 4 và B = x² - x + 3

c) A = 2x⁴ + x³ + 3x² + 4x + 9 và B = x² + 1

d) A = 2x³ - 11x² + 19x - 6 và B = x² - 3x + 1

e) A = 2x⁴ - x³ - x² - x + 1 và B = x² + 1

Phương pháp giải : Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.

 DẠNG 5 : TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B

Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n³ - 4n² - n + 4 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n + 1.

Giải :

Thực hiện phép chia 4n³ - 4n² - n + 4 cho 2n + 1, ta được :

4n³ - 4n² - n + 4 = (2n + 1).(n² + 1) + 3

Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :

2n + 1 = 3  n = 1

2n + 1 = 1  n = 0

2n + 1 = -3  n = -2

2n + 1 = -1  n = -1

Vậy n =  1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.

 Bài toán 5 : Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.

a) A = 8x² - 26x + m và B = 2x - 3

b) A = x³ + 4x² + 4x + m và B = x + 3

c) A = x³ - 13x + m và B = x² + 4x + 3

d) A = x⁴ + 5x³ - x² - 17x + m + 4 và B = x² + 2x - 3

e) A = 2x⁴ + mx³ - mx - 2 và B = x² - 1

 Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:

   A = x3 + 4x2 + 3x – 7

   B = x + 4

a) Tính A : B

b) Tìm x  Z sao cho A chia hết cho B

 Bài toán 7 : Tìm x, biết.

a) (8x² - 4x) : (-4x) - (x + 2) = 8

b) (2x⁴ - 3x³ + x²) : (-x²) + 4(x - 1)² = 0

Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B biết.

a) A = 8n² - 4n + 1 và B = 2n + 1

b) A = 3n³ + 8n² - 15n + 6 và B = 3n - 1

c) A = 4n³ - 2n² - 6n + 5 và B = 2n - 1

 DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout

 Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :

a) Khi f(x) = x³ + 2x² - 4x + 3 chia cho x - 2

b) Khi f(x) = x⁴ - 3x² + 2x - 1 chia cho x + 1

c) Khi f(x) = x³ - 3x² + 4x  - 5 chia cho x - 2

d) Khi f(x) = x²⁷ + x⁹ + x³ + x chia cho x - 1

 Bài toán 10 : Chứng minh :

a) x⁵⁰ + x¹⁰ + 1 chia hết cho x²⁰ + x¹⁰ + 1

b) x²⁰¹² + x²⁰⁰⁸ + 1 chia hết cho x² + x + 1

HẾT

Giáo dục là vũ khí mạnh nhất mà người ta có thể sử dụng để thay đổi cả thế giới.

N.Mandela