Tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng

A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa: Cho hàm số  xác định trên 
* Hàm số  được gọi là đồng biến trên  nếu .
* Hàm số  được gọi là nghịch biến trên  nếu .
Việc xét tính đồng biến, nghịch biến ở các lớp dưới 9, 10,11 ta đi xét tỷ số .
Ta biết khi  hàm số đồng biến ( nghịch biến).
Sau khi chúng ta đã được học giới hạn và khái niệm đạo hàm chúng ta có một công cụ đạo hàm để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Mỗi liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm được thể hiện bới định lý.

II. Định lý:
Định lý 1:
*Nếu  ( dấu  xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm  đồng biến trên 
* Nếu  ( dấu  xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm  nghịch biến trên 
* Nếu  thì hàm  là hàm hằng trên .

* Nhận xét:
+ Các hàm số đa thức, phân thức và hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
+ Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kì.

Định lý 2:
* Nếu hàm  đồng biến ( nghịch biến) trên  thì  
Như vậy từ định lý trên để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  trên  ta thường đi xét dấu của trên 
III. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải: Ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm TXĐ.
Bước 2: Tính 
Bước 3: Giải phương trình , hoặc tìm các giá trị  mà hàm số không có đạo hàm tại 
Bước 3: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Sau đó lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên .
Bài toán 1: Chứng minh hàm số  đồng biến ( nghịch biến ) trên 
Phương pháp:
*Để chứng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên  là đi chứng minh 
* Ta xét dấu của , hoặc lập BBT để kết luận điều cần chứng minh.
Ví dụ : Chứng minh:
1. Hàm số  đồng biến trên 
2. Hàm số  đồng biến trên  với mọi giá trị 
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên .

Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số  để hàm số  đồng biến ( nghịch biến ) trên 

Phương pháp:
Hàm số  đồng biến ( nghịch biến) trên  (*)
Vấn đề của chúng ta bây giờ là tìm cách giải vài toán (*).

* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thường đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thường có thể vận dụng điều kiện tam thức bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trường hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau :
* Để giải quyết bài toán (*) ta thường đi theo hai hướng: 
Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.
Hướng 2: Đưa  về tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu.
Ví dụ 1:
1. Tìm  để hàm số  đồng biến trên khoảng  ( Đề thi thử ĐH-Năm 2012)
Giải:
TXĐ: 
Như ta đã biết, hàm số đồng biến trên khoảng trên khoảng  .
Như vậy yêu cầu của bài toán đưa về bài toán tìm  để 
Bài toán này có hai cách giải thường dùng như sau:
Cách 1: Cô lập  và khảo sát hàm số
Ta có: 
Xét 


Cách 2: Sử dụng dấu tam thức bậc 2.
.


2. Tìm  để hàm số đồng biến trên 
Giải:
TXĐ: 

Hàm số đồng biến trên 
Ta dễ thấy trong bài toán này không thể cô lập được  nên không thể dùng cách 1 để giải quyết bài toán này được, do đó ta phải dùng cách 2.
.

Do đó: Hàm số đồng biến trên 

Vậy  là các giá trị  cần tìm.
3. Tìm  để hàm số  nghịch biến trên 
Giải:
TXĐ: 
Ta có: 
Hàm số nghịch biến trên 
Ta thấy  chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:
TH1:  khi đó  hàm số nghịch biến trên 
TH2: , khi đó  là tam thức bậc 2 nên nàm số nghịch biến trên 
Vậy  là các giá trị cần tìm.
* Từ các ví dụ trên ta cần lưu ý một số điểm sau:
-Nếu trong  chỉ chứa tham số  bậc nhất khi đó ta sẽ cô lập được  nên có thể dùng cách 1 để giải.
_Nếu không cô lập được  và dấu của  là dấu của một tam thức bậc hai có chứa tham số thì chúng ta thường dùng cách 2 để giải:
- 
-- 

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 3: Chứng minh: 
Phương pháp:
Chứng minh: 
Ta lập bảng biến thiên ( hoặc xét dấu của  để kết luận.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: 
Giải:
Xét hàm số: 

Vậy  đồng biến trên nửa khoảng 
Do đó: 
 ( ĐPCM).
Kiến thức bổ sung:
* Hàm số  đồng biến trên  thì 
* * Hàm số  nghịch biến trên  thì .

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1. Tìm  để hàm số  đồng biến trên 
2. Tìm  để hàm số  nghịch biến trên .
3. Tìm  để hàm số  đồng biến trên 
3. Tìm  để hàm số  nghịch biến trên 
4. Chứng minh rằng: 
5. Chứng minh rằng: