Sự biến thiên của hàm số

I. Kiến thức cơ bản

1. Định nghĩa

Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

a) Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp \( x_{1},x_{2}\epsilon K\) mà \( x_{1}<x_{2}\) thì \( f(x_{1})<f(x_{2})\)

b) Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp \( x_{1},x_{2}\epsilon K\) mà \( x_{1}<x_{2}\) thì \( f(x_{1})>f(x_{2})\)

Hàm số f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K còn gọi là tăng ( hay giảm ) trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

2. Định Lý

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K

II. Phân loại các dạng bài tập

Vấn đề 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số cho trước ( hay xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x) )

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Tính đạo hàm f'(x)

Bước 2: Tìm các giá trị của x làm cho f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3: Tính các giới hạn

Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận.

Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y=-x^{4}+2x^{2}+3\)

Giải

Tập xác định D = R

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞; -1) và (0;1)

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-1;0) và (1; +∞).

Chú ý: Khi kết luận không được kết luận là Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞; -1)∪  (0;1); Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-1;0) ∪ (1; +∞).

Bài tập 2: Xét chiều biến thiên của hàm số \( y = 2x^{3}-3x^{2}+1\)

Giải

Tập xác định D = R

Đạo hàm y'= \( 6x^{2}-6x\)

y' = 0 <=> \( 6x^{2}-6x\) = 0  <=> x = 0 hoặc x = 1

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) và (1;+∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

Bài tập vận dụng

Vấn đề 2. Xác định tham số m để hàm số đồng biến ( nghịch  biến ).

I. Phương pháp 1. Sử dụng phương pháp hàm số

Trong phương pháp này ta cần quan tâm 2 chú ý sau

II. Phương pháp 2: Sử dụng tam thức bậc 2

1. Cơ sở lý thuyết

1. Cho hàm số  xác định và có đạo hàm trên D

2. Bài tập áp dụng