Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một bài toán quan trọng vì nó thường hay xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học những năm qua. Vì vậy, các bạn học sinh lớp 11 và lớp 12 luyện thi đại học cần phải chú ý nhiều đến dạng bài tập này.

Trước tiên, chúng ta cần biết được tiếp tuyến là gì. Nói đơn giản và dễ hiểu thì như thế này:

Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là một đường cong mà ta ký hiệu là (C), đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm $\displaystyle M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong định nghĩa này, chúng ta có khái niệm "d tiếp xúc với (C)", vậy như thế nào là tiếp xúc? Ta có thể xem hình bên trên để phân biết giữa tiếp xúc và cắt. Ta thấy đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm M và cắt (C) tại điểm N.

Điểm $\displaystyle M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ được gọi là tiếp điểm (điểm tiếp xúc) của tiếp tuyến và đồ thị. Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số y=f(x) nên $\displaystyle {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ .

Ta thừa nhận rằng, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $\displaystyle {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ chính bằng đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm $\displaystyle {{x}_{0}}$ . Vì vậy ta có được phương trình tiếp tuyến:

$\displaystyle y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})\left( x-{{x}_{0}} \right)$

Trong một bài toán viết phương trình tiếp tuyến, ta chỉ cần tìm được tọa độ tiếp điểm $\displaystyle \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ và hệ số góc $\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right)$ là có thể viết được phương trình.

Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm. Với dạng này ta chỉ cần tính thêm hệ số góc là có thể viết ra được phương trình.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x+1$ tại điểm $\displaystyle M\left( 2;5 \right)$ .

Giải

Ta có: $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2$

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $\displaystyle M\left( 2;5 \right)$ là: $\displaystyle f'\left( 2 \right)={{3.2}^{2}}-2=10$

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle y-5=10\left( x-2 \right)\Leftrightarrow y=10x-15$

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hoành độ giao điểm. Nghĩa là ta đã biết được $\displaystyle {{x}_{0}}$ , ta cần tìm thêm $\displaystyle {{y}_{0}}$ và hệ số góc $\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right)$ .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-2x+1$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

Giải

Ta có: $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2$

Gọi $\displaystyle N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Theo đề bài ta có: $\displaystyle {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=f\left( 1 \right)=0$

Hệ số góc của tiếp tuyến: $\displaystyle f'\left( 1 \right)={{3.1}^{2}}-2=1$

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle y-0=1\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=x-1$

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm. Nghĩa là ta đã biết được $\displaystyle {{y}_{0}}$ . Ta sẽ tìm $\displaystyle {{x}_{0}}$ và hệ số góc.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1$ tại điểm có tung độ bằng 1.

Giải

Ta có: $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2$

Gọi $\displaystyle A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Theo đề bài ta có: $\displaystyle {{y}_{0}}=1\Leftrightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=1\Leftrightarrow x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}+1=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0$

Hệ số góc của tiếp tuyến: $\displaystyle f'\left( 0 \right)={{3.(0)}^{2}}+2=2$

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle y-1=2\left( x-0 \right)\Leftrightarrow y=2x+1$

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm thêm tọa độ của tiếp điểm để viết được phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1$ biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.

Giải

Ta có: $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2$

Gọi $\displaystyle B\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: $\displaystyle f'\left( {{x}_{o}} \right)=5\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}+2=5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1$

Với $\displaystyle {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=4$ suy ra phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle y-4=5\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=5x-1$

Với $\displaystyle {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-2$ suy ra phương trình tiếp tuyến: $\displaystyle y+2=5\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=5x+3$

Chú ý: Dạng 4 có thể cho ở dạng viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó ta sử dụng nhận xét sau để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:

Hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1.

Ngoài ra, ta cần phải nhớ rằng: đường thẳng có phương trình $\displaystyle y=ax+b$ thì có hệ số góc là $\displaystyle k=a$ .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x+1$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: $\displaystyle -2x+y-1=0$ .

Giải

Ta có: $\displaystyle f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2$

Đường thẳng d: $\displaystyle -2x+y-1=0\Leftrightarrow y=2x+1$

Suy ra hệ số góc của d là $\displaystyle {{k}_{d}}=2$ .

Gọi $\displaystyle C\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến là $\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right)$ .

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có:

$\displaystyle f'\left( {{x}_{0}} \right).{{k}_{d}}=-1\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right).2=-1\Leftrightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}+2=-\frac{1}{2}$ (phương trình vô nghiệm)

Vậy không có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản bắt buộc phải nắm được trước khi tiếp cận với những dạng khó hơn trong các đề thi tuyển sinh đại học.

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Các dạng bài toán phương trình tiếp tuyến cơ bản

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

chuyên đề được quan tâm

bài viết mới nhất