20 bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị

Bài 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y =  \(\frac{1}{4}\)x⁴ – (m+1)x² + 2m + 1 có đồ thị (C_m)_, với m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1
2. Cho I (0; -\(-\frac{5}{2}\) ). Tìm m để (C_m) có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi.

Giải

Ta có y’= x³ – 2(m + 1)x, với mọi x thuộc R

(C_m) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

 2 (m + 1) > 0 <=> m > -1  (1)

Khi  đó 3 nghiệm phân biệt của y’ = 0 là x = 0; 

Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại H (0; -m²) và H là trung điểm của BC. Do đó tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung điểm của AI. Hay là