Lý Thuyết

1. Đường thẳng  ∆ qua điểm M₀(x₀ ; y₀ ; z₀) có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow{a}\)(a₁ ; a₂ ; a₃) có phương trình tham số dạng:

                   \(\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+ a_{1}t & & \\ y= y_{0}+a_{2}t & & \\ z=z_{0}+a_{3}t & & \end{matrix}\right.\), t ∈ R là tham số.

Nếu a_1, a_2, a₃ đều khác không, ta viết phương trình trên ở dạng chính tắc:

                   \(\frac{x-x_{0}}{a_{1}}=\frac{y-y_{0}}{a_{2}}=\frac{z-z_{0}}{a_{3}}.\)

2. Cho đường thẳng ∆₁qua điểm M­₁ và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\), đường thẳng ∆₂ qua điểm M­₂  và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\).

* ∆₁ và ∆₂ chéo nhau ⇔ ∆₁ và ∆₂ không nằm trong cùng một mặt phẳng

                                ⇔ \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\neq 0\).

* ∆₁ và ∆₂ song song ⇔ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}=k\overrightarrow{u_{2}}\\ M_{1}\in \Delta _{1}\\ M_{2}\notin \Delta _{2} \end{matrix}\right.\).

* ∆₁ trùng với ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\), \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) là ba vectơ cùng phương.

* ∆₁ cắt  ∆₂  ⇔ \(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\overrightarrow{M_{1}M_{2}}= 0\).

Bài Tập

Bài tập 1 - 2 Trang 89 - SGK Hình học 12

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\)(2 ; -3 ; 1) ;

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình:

x + y - z + 5 = 0 ;

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình:

                                          \(\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\)  ;

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đường thẳng d có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\), với t ∈ R.

b) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α): x + y - z + 5 = 0 nên có vectơ chỉ phương 

\(\overrightarrow{u}\)(1 ; 1 ; -1) vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ pháp tuyến của (α).

Do vậy phương trình tham số của d có dạng: 

                     \(\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)

c) Vectơ \(\overrightarrow{u}\)(2 ; 3 ; 4) là vectơ chỉ phương của ∆. Vì d // ∆  nên \(\overrightarrow{u}\) cùng là vectơ chỉ phương của d. Phương trình tham số của d có dạng:

                      \(\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\)

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4) có vectơ chỉ phương

 \(\overrightarrow{PQ}\)(4 ; 2 ; -1) nên phương trình tham số có dạng:

                      \(\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=5-s& \end{matrix}\right.\)

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d:  \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy) ;

b) (Oyz).

Hướng dẫn giải:

a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P)  ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ;  vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  (Oxy), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và  \(\overrightarrow{u}\)( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ]\) = (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

       2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0

 hay 2x - y - 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

                                       \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Điểm M₀( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của ∆ vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]\) = (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

                                       \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

Chú ý :

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Chẳng hạn lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M₁ trên (Oxy) là N₁ (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oxy) là N₂(0 ; -7 ; 0).

Đườn thẳng ∆ qua N₁, N­₂ chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oxy).

Ta có : \(\overrightarrow{N_{1}N_{2}}\)(-2 ; -4 ; 0) // \(\overrightarrow{v}\)(1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

                                        \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t & t \in R\\ z =0& \end{matrix}\right.\).

b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.

 lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và  M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của 

M₁ trên (Oxy) là M'₁ (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'₁, M­₂ chính là hình chiếu vuông  góc của d lên (Oyz).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}\)(0 ; -4 ; -6) // \(\overrightarrow{v}\) (0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'₁M­₂ có dạng: 

                                          \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

Bài tập 3 - 6 Trang 90 - SGK Hình học 12.

3. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\)         và                d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)               và                d':  \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải:

a)  Đường thẳng d đi qua M₁( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}\)(2 ; 3 ; 4).

Đường thẳng d' đi qua M₂( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}\)(1 ; -4 ; 1).

Ta có   \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ]\) = (19 ; 2 ; -11) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) = (8 ; 1 ; 14) 

và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) = (19.8 + 2 - 11.4) = 0

nên d và d' cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.

b) Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}\)(1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}\)(2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M \(\notin\) d' nên d và d' song song.

4. Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\)                      d': \(\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải:

Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &(1)\\ t = 2+2s & (2)\\ -1+2t=3-s & (3) \end{matrix}\right.\)

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.

Nhân hai về của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có t = 2;

s = 0. Thay vào phương trình (1) ta có 1 + 2a = 1 => a =0.

Vậy a = 0 thì d và d' cắt nhau.

5.  Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\)          và (α) : 3x + 5y - z - 2 = 0. ;

b) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\)            và (α) : x + 3y + z = 0 ;

c) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\)            và (α) : x + y + z - 4 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

                       3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0

                   ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3.

Tức là d  ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2).

Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.

b) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

                       (1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0

                 ⇔  0.t + t  = 9, phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau., ta có d // (α).

c) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:

              (1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0

         ⇔  0t + 0 = 0,phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α) .

6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng  ∆ : \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\)

với mặt phẳng (α) : 2x - 2y + z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ qua điểm M(-3 ; -1 ; -1) có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow{u}\)(2 ; 3 ; 2).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\)(2 ; -2 ; 1).

Ta có M \(\notin\) (α) và \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\) = 0 nên ∆ // (α).

Do vậy  d(∆,(α)) = d(M,(α)) = \(\frac{|-6+2-1+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{3}\).

Bài tập 7 - 10 Trang 91 - SGK Hình học 12
7. Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải.

a) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\)(1 ; 2 ; 1). H ∈ ∆ nên H(2 + t ; 1 + 2t ; t).

Điểm H ∈ ∆ là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}\)(1+t ; 1 + 2t ; t) nên:

\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.

                   ⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0

                   ⇔ 6t + 3 = 0   ⇔ t =  \(-\frac{1}{2}\).

                   ⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).

b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua ∆ và H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆  thì H là trung điểm của AA'; vì vậy tọa độ của H là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và A'.

Gọi A'(x ; y ; z) ta có:

\(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2}\)  => x = 2; y = 0; z = -1.

Vậy A'(2 ; 0 ; -1).

8. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) ;

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải:

a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).

Khi đó H chính là giao điểm của d và  (α). 

Vectơ \(\overrightarrow{n}\)(1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của d.

Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:    \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).

Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:

3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).

b) Gọi M'(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM'.

Ta có: 

\(\frac{x+1}{2}=-1\) => x = -3 ;

\(\frac{y+4}{2}=2\)    => y = 0 ;

\(\frac{z+2}{2}=0\)    => z = -2.

Vậy M'(-3 ; 0 ;2).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) bằng 2 cách sau:

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

\(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

      d(M,(α) )= MH = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).

9. Cho hai đường thẳng:

     d: \(\left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\)                 và                  d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\).

Chứng minh d và d' chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua điểm M(1 ; 2 ; 0) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\)(-1 ; 2 ; 3).

Đường thẳng d' qua điểm M'(1 ; 3 ;1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}\)(1 ; -2 ; 0).

Cách 1. Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]=\left (\begin{vmatrix} 3 & 1\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 1& 2 \end{vmatrix} \right )\)

                                    = (2 ; 1 ;-5).

                     \(\overrightarrow{MM'}\) = (0 ; 1 ; 1).

Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\) = 2.0 + 1.1 + (-5).1 = -4 ≠ 0.

Do đó d và d' chéo nhau.

Cách 2: Vì \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{u'}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể là chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta xét giao điểm của d và d':

\(\left\{\begin{matrix} 1-t=1+t' & \\ 2+2t=3-2t'& \\ 3t=1& \end{matrix}\right.\)      => \(\left\{\begin{matrix} t+t'=0 & \\ 2t+2t'=1 & \\ 3t=1& \end{matrix}\right.\)  hệ vô nghiệm.

Do đó d và d' không thể cắt nhau. Vì vậy d và d' chéo nhau.

10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C).

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A)0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ;  0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)

Khi đó

B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0). Phương trình mặt phẳng (A'BD) có dạng:

 x + y + z - 1 = 0.                         (1)

Ta tìm được phương trình mặt phẳng (B'D'C):

Vectơ:  \(\overrightarrow{CB'}\)(0 ; -1 ; 1) ; \(\overrightarrow{CD'}\)(-1 ; 0 ; 1).

Mặt phẳng (B'D'C) qua điểm C và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ]\) = (-1 ; -1 ; -1 ) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (B'D'C) có dạng:

x + y + z - 2 = 0                          (2)

Ta có \(d_{1}(A,(A'BD))=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

       \(d_{2}(A,(B'D'C))=\frac{2}{\sqrt{3}}.\)