Phương pháp và bài tập tính nguyên hàm từng phần

Cập nhật lúc: 15:33 25-12-2015 Mục tin: LỚP 12


Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, dv và giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng udv.

T. LÝ THUYẾT

1. Định lý.

Nếu u = (x) và v = v(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn K thì:

\(\int u(x)v'(x)dx=u(x).v(x)-u(x)\int v(x)dx\)

Viết gọn lại: \(\int udv=u.v-v\int du\)

2. Một số dạng tính nguyên hàm từng phân.

Dạng 1: \(I = \int {f\left( x \right)\sin xdx}  \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right)\cos xdx} \), trong đó f(x) là đa thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=sinxdx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int sinxdx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 2: \(I=\int f(x).e^{x}dx\) , trong đó f(x) là 1 đa thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=e^{x}dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int e^{x}dx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 3: \(I = \int {f\left( x \right)\ln xdx} \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right){{\log }_a}xdx} \), trong đó f(x) là 1 đa thức.

 Phương pháp: Đặt: \(\left\{\begin{matrix} u=lnx & \\ dv=f(x)dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{x} dx& \\ v=\int f(x) dx& \end{matrix}\right.\)

3. Một số chú ý:

Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể đặt “udv” theo thứ tự “lượng giác mũ” hoặc ngược lại đều được và phải sử dụng hai lần tích phân từng phần. Cả hai lần tích phân từng phần trong trường hợp này
phải thống nhất theo cùng thứ tự. Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = I.
+) Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:
*) Nếu trong biểu thức tích phân có \(log_{n}^{a} f(x) ; ln^{n}f(x)\) thì phải  tích phân từng phần n lần.
*) Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n:  (không có hàm logarit) ==> thì cũng phải tích phân từng phần lần.

II. LUYỆN TẬP.

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(a)I_{1}=\int x.sinxdx; b) I_{2}=\int x.e^{3x}dx; c)\int x^{2}.cosxdx\)

Hướng dẫn giải

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 

 

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021