Phương pháp và bài tập tính nguyên hàm từng phần

T. LÝ THUYẾT

1. Định lý.

Nếu u = (x) và v = v(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn K thì:

\(\int u(x)v'(x)dx=u(x).v(x)-u(x)\int v(x)dx\)

Viết gọn lại: \(\int udv=u.v-v\int du\)

2. Một số dạng tính nguyên hàm từng phân.

Dạng 1: \(I = \int {f\left( x \right)\sin xdx}  \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right)\cos xdx} \), trong đó f(x) là đa thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=sinxdx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int sinxdx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 2: \(I=\int f(x).e^{x}dx\) , trong đó f(x) là 1 đa thức.

Phương pháp: Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=f(x) & \\ dv=e^{x}dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=f'(x)dx & \\ v=\int e^{x}dx& \end{matrix}\right.\)

Dạng 3: \(I = \int {f\left( x \right)\ln xdx} \) hoặc \(I = \int {f\left( x \right){{\log }_a}xdx} \), trong đó f(x) là 1 đa thức.

 Phương pháp: Đặt: \(\left\{\begin{matrix} u=lnx & \\ dv=f(x)dx & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{x} dx& \\ v=\int f(x) dx& \end{matrix}\right.\)

3. Một số chú ý:

Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể đặt “u→dv” theo thứ tự “lượng giác → mũ” hoặc ngược lại đều được và phải sử dụng hai lần tích phân từng phần. Cả hai lần tích phân từng phần trong trường hợp này
phải thống nhất theo cùng thứ tự. Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = I.
+) Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:
*) Nếu trong biểu thức tích phân có \(log_{n}^{a} f(x) ; ln^{n}f(x)\) thì phải  tích phân từng phần n lần.
*) Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n:  (không có hàm logarit) ==> thì cũng phải tích phân từng phần lần.

II. LUYỆN TẬP.

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(a)I_{1}=\int x.sinxdx; b) I_{2}=\int x.e^{3x}dx; c)\int x^{2}.cosxdx\)

Hướng dẫn giải

BÀI TẬP TỰ LUYỆN