Nhận dạng đồ thị hàm số Toán 12

                                   NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ

A. LÝ THUYẾT:

1. Nếu đồ thị hàm số \(y = f(x)\)  cắt trục tung tại điểm có tung độ \({y_0}\) thì  \(f(0) = {y_0}\)

2. Nếu đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \({x_0}\)  thì  \(f({x_0}) = 0\)

3. Nếu  đồ  thị hàm số \(y = f(x)\)  đi qua điểm có hoành độ \({x_0}\) và tung độ \({y_0}\)  thì \(f({x_0}) = {y_0}\)

4. Nếu hàm số \(f(x)\) là một đa thức thì chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị về phía trục hoành luôn có hướng tương ứng với hệ số cao nhất, tức là hướng lên thì hệ số dương và hướng xuống thì hệ số âm.

5. Với \(f(x)\)  là các hàm thường gặp: nếu \(x = {x_0}\)  là cực trị của hàm số thì \(f'({x_0}) = 0\)

6.  Hàm số đa thức bậc ba \((y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\rm{ (a}} \ne {\rm{0)}}\).

Cắt trục tung tại điểm có tung độ là \((d\) .

Cắt trục hoành tối đa tại 3 điểm.

     \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) ,  \(\Delta ' = {b^2} - 3ac\).

Hàm số có 2 cực trị nếu \(\Delta ' > 0\)  và không có cực trị nếu \(\Delta ' \le 0\) .

Cực trị của hàm số \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lý Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right.\)

7. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương \(f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ (a}} \ne {\rm{0)}}\)

Cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(c\) .

Cắt trục hoành tối đa tại 4 điểm, các điểm này đối xứng lẫn nhau qua gốc \(O\)

Đồ thị cắt trục hoành khi và chỉ khi \(\Delta {\rm{ }} = {b^2} - {\rm{ }}4ac{\rm{ }} > 0\) 

\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x(2a{x^2} + b)\) . Hàm số luôn có 1 cực trị là \(x = 0\)

          + Nếu \(a,b\)  cùng dấu thì đây là cực trị duy nhất.

          + Nếu \(a,b\)  trái dấu thì hàm số có thêm hai cực trị đối xứng nhau qua \(O\)  là \(x =  \pm \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} \)

 Hàm số có trục đối xứng là trục tung.

 8.  Hàm số phân thức bậc nhất \(f(x) = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

Cắt trục tung tại điểm có tung độ \((\left( {0;\dfrac{b}{d}} \right)\).

Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\)

Tiệm cận ngang: \(y = \dfrac{a}{c}\)

Tiệm cận đứng: \(x = \dfrac{{ - d}}{c}\)

\(f'(x) = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}} > 0( < 0) \Leftrightarrow ad - bc > 0( < 0)\)