Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Phần 1)

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC (PHẦN 1)

I/ Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

+ Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đội diện với đỉnh đó.

+ Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ:

Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) (hình vẽ) ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\)

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác.

Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(AB,BE,CF\) là ba đường trung tuyến ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\)

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông)

Phương pháp:

Chú ý trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

II/ Bài tập vận dụng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn câu sai:

A. Trong một tam giác có 3 đường trung tuyến.

B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm.

C. Giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.

D. Một tam giác có 2 trọng tâm.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến của tam giác:

“Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.”

Lời giải:

Một tam giác chỉa có 1 trọng tâm nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 2: Điền số thích hợp và chỗ chấm: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.”

A. \(\frac{2}{3}\)                B. \(\frac{3}{2}\)                  C. \(\frac{1}{2}\)                     D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác.

Lời giải:

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Vậy số cần điền là \(\frac{2}{3}.\)

Chọn A.

Câu 3: Cho hình vẽ sau:

Điền số thích hợp và chỗ chấm: \(BG = ...BE.\)

A. \(\frac{1}{2}\)                 B. \(\frac{1}{3}\)                      C. \(\frac{2}{3}\)                    D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Ta có \(AD,BE,CF\) là ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) và chúng cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\)

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BE.\)

Vậy số thích hợp điền và chỗ chấm là \(\frac{2}{3}.\)

Chọn C.

Câu 4: Sử dụng hình vẽ ở câu 3 điền số thích hợp và chỗ chấm: \(AG = ...GD.\)

A. \(\frac{1}{2}\)                    B. \(\frac{1}{3}\)                     C. \(\frac{2}{3}\)                     D. \(2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Theo câu 3, ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\)

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

\(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{GD}} = 2 \Rightarrow AG = 2GD.\)

Vậy số thích hợp điền và chỗ chấm là \(2.\)

Chọn D.

Câu 5: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là:

A. Điểm \(D\)                            B. Điểm \(E\)

C. Điểm \(O\)                            D. Cả A, B, C đều sai.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

Lời giải:

\(AD = DE = EM = \frac{1}{3}AM \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AM\)

Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AE = \frac{2}{3}AM\)

\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Chọn B.

Câu 6: Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}.\) Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\frac{{BG}}{{EG}} = 2.\)

B. \(\frac{{FG}}{{CG}} = \frac{2}{3}.\)

C. \(E\) là trung điểm của cạnh \(AC.\)

D. \(F\) là trung điểm của cạnh \(AB.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm và tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Do \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) mà \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Mặt khác, \(BG\) cắt \(AC\) tại \(E,\,\,CG\) cắt \(AB\) tại \(F\)

\( \Rightarrow BE,CF\) lần lượt là hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow E,F\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC,AB.\)

Theo tính chất của ba đường trung tuyến ta có:

\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{BG}}{{EG}} = 2\,\,;\,\,\frac{{CG}}{{CF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{FG}} = 2 \Rightarrow \frac{{FG}}{{CG}} = \frac{1}{2}\)

Do đó đáp án B sai.

Chọn B.

Câu 7: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến BD, CE, AM.

Chọn  khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. Nếu tam giác ABC cân tại A thì BD = CE

B. Nếu BD = CE thì tam giác ABC cân tại A

C. Nếu tam giác ABC đều thì BD = CE = AM

D. Tất cả các khẳng định trên đều đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác bằng nhau và các tính chất của tam giác cân, tam giác đều.

Lời giải:

+ Nếu tam giác ABC cân tại A suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC \Rightarrow AE = AD\\\angle ABC = \angle ACB\end{array} \right.\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ABD\) ta có:

\(\begin{array}{l}AE = AD\\AC = AB\\\angle A\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ABD\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow CE = BD \Rightarrow \) đáp án A đúng.

+ Nếu BD = CE. Gọi giao điểm của BD và CE là G, vậy G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra: GE = GD ; GB = GC.

Xét \(\Delta EGB\) và \(\Delta DGC\) có:

\(\begin{array}{l}GE = GD\\GB = GC\\\angle BGE = \angle CGD\,\,\,\left( {2\,\,goc\,\,doi\,\,dinh} \right)\\ \Rightarrow \Delta EGB = \Delta DGC\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow EB = DC \Rightarrow AB = AC\end{array}\)

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên đáp án B đúng.

+ Nếu tam giác ABC đều thì nó cân tại A và B, từ đó ta chứng minh được 3 đường trung tuyến bằng nhau.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy cả 3 đáp án đều đúng.

Chọn D.

Câu 8: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi G là điểm thuộc tia AM sao cho AG = 2AM. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

A. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)

B. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}\)

C. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{3}{8}{S_{ABC}}\)

D. \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{6}{S_{ABC}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trọng tâm và tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Do \(AG = 2AM\) nên \(AG = \frac{2}{3}AM.\)

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Do M là trung điểm của BC nên \({S_{\Delta AMB}} = {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}.\)

Do \(AG = \frac{2}{3}AM\) nên \({S_{\Delta GAB}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\)

Tương tự ta có: \({S_{\Delta GBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\,\,;\,\,{S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\)

Vậy \({S_{\Delta GAB}} = {S_{\Delta GBC}} = {S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\)

Chọn A.